Путь Мудрости

Исключённое третье

Закон Исключённого Третьего: A ∨ ¬A

Между A и не-A нет третьего варианта.

Этот закон замыкает пространство, оставленное двумя несущими законами. Тождество устанавливает, что A есть A. Непротиворечие — что A не может одновременно быть не-A. Вместе они уже отсекают всё, что не есть A и не есть не-A: такая «промежуточная» область не может существовать определённо — о ней нельзя сказать ни что она A, ни что она не-A, не нарушив одного из двух первых законов. Исключённое Третье лишь делает это замыкание явным.

Производный статус

Классическая триада избыточна: исключённое третье — не самостоятельный закон, а производный, формулирующий совместное следствие Тождества и Непротиворечия. Аристотель выделил его отдельной формулой ради полноты,1 и для большинства практических задач он ведёт себя как основной закон; но в архитектуре направления его статус — производный. Вместе три закона создают бинарную структуру определённого пространства различия, без промежуточной территории.

Аристотель в четвёртой книге «Метафизики» поставил рядом два принципа — Непротиворечия и (имплицитно) Тождества. К ним со временем — через средневековую схоластику, Лейбница и Канта — добавился третий: закон Исключённого Третьего.2 Он не самостоятельный закон логики, а производный от двух первых: если A есть A и A не может быть одновременно не-A, то между ними третьего не дано — это следствие совместного действия Тождества и Непротиворечия. Классическая тройка сложилась в перспективе законов мысли, ориентированной на правила человеческого мышления. В онтологической перспективе закон Исключённого Третьего не параллелен двум первым законам, а замыкает пространство, которое они создают, — обеспечивая его полноту.

Честная граница стала точнее: под одним именем — два тезиса. Бинарность — «третьего не дано» — теперь и формально теорема без аксиом, в трёх формах, вплоть до акта, который ещё не завершён (side_binarity, L3_binarity, pending_binarity); прежняя оговорка о расхождении онтологической выведенности и формальной выводимости к ней больше не нужна. Тотальность — «назначение всегда уже состоялось» — отдельный тезис: он и есть классический принцип (classic), принимаемый в машинной проверке как режим счёта, а не тезис о мире: потенциал может истечь нереализованным, тотальность всегда о «сейчас» и никогда о будущем (Формализация).

Не путать с ложной дилеммой

Принцип часто путают с ложной дилеммой — риторическим приёмом, который искусственно сужает варианты. «Ты либо с нами, либо против нас» — это манипуляция, не применение закона: между «с нами» и «против нас» существует множество позиций — нейтральность, частичное согласие, безразличие.

Сам закон говорит о другом: между «с нами» и «не с нами» третьего нет. «Против нас» — лишь одна из форм «не с нами», но не единственная. Путаница между контрарными (противными) и контрадикторными (противоречащими) понятиями порождает ложные опровержения закона.

Возражение Брауэра

В начале XX века голландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр бросил вызов Исключённому Третьему. Брауэр был одним из величайших математиков столетия: основатель современной топологии, автор знаменитой теоремы о неподвижной точке.3 В диссертации «Об основаниях математики» (1907) он положил начало интуиционизму, а год спустя, в статье «Ненадёжность логических принципов», впервые атаковал сам закон.

Для Брауэра математика — «существенно безъязыковая деятельность ума», имеющая истоком восприятие времени. Математические объекты не открываются в платоновском мире идей; они конструируются сознанием. Утверждение истинно, только если мы можем его доказать, и ложно, только если можем опровергнуть; там же, где нет ни доказательства, ни опровержения, оно вовсе лишено истинностного значения. Отсюда — отвержение Исключённого Третьего для бесконечных областей. Гипотеза Гольдбаха — каждое чётное число больше двух есть сумма двух простых — доныне не доказана и не опровергнута; и для интуициониста высказывание «гипотеза Гольдбаха истинна или ложна» не имеет силы, пока доказательства нет.

Возражению Брауэра противостоял Давид Гильберт — быть может, самый влиятельный математик своего времени. С кафедры в Гёттингене он определял повестку целой эпохи: его двадцать три проблемы, оглашённые в 1900 году, задали направление математике на десятилетия вперёд, а его работы преобразили геометрию, теорию чисел, анализ и даже основания физики. Математику Гильберт понимал не как деятельность ума, а как строгую игру по правилам: система знаков и аксиом, из которых выводятся теоремы, а надёжность целого обеспечивается доказательством непротиворечивости. Формализовать всю классическую математику и раз навсегда доказать её непротиворечивость конечными, обозримыми средствами — эту программу он считал делом жизни.

Потому интуиционизм был для него не философской тонкостью, а прямой угрозой. Отказ от Исключённого Третьего отсекал огромную часть классической математики: неконструктивные доказательства существования, работу с завершёнными бесконечностями Кантора, целые разделы анализа. «Никто не изгонит нас из рая, который создал Кантор», — отвечал Гильберт,4 а Исключённое Третье было для него самим воздухом этого рая. Отсюда и знаменитый ответ: «Отнять у математика закон Исключённого Третьего — всё равно что запретить астроному телескоп или боксёру — пользоваться кулаками».5

Спор перерос в личную вражду. В 1928 году Гильберт, больной и опасавшийся за судьбу главного математического журнала эпохи, добился исключения Брауэра из редколлегии Mathematische Annalen — эпизод, который Эйнштейн, тоже член редколлегии, насмешливо назвал «войной мышей и лягушек» и в котором отказался участвовать. Брауэр, потрясённый, почти умолк. И парадокс его судьбы: в поздние годы он признал, что и собственные его топологические результаты не имеют интуиционистского обоснования, ибо опираются на Исключённое Третье. Философская последовательность перевесила математическую славу.

За внешней резкостью стоял подлинный вопрос: что делает математическое утверждение истинным. Для Брауэра — наша способность его построить; для Гильберта — его выводимость в непротиворечивой формальной системе. Интуиционизм не был упражнением в формализме: он предлагал иную онтологию математики и породил целую школу — конструктивную логику.

Ответ

Спор зависит от того, что признавать истиной. Ответ направления короткий: истина — это логика. Утверждение истинно, если согласуется с законами логики; ложно — если нарушает их. Истина — не свойство наших доказательств и не обитатель платоновского неба: она — согласованность со структурой самой реальности, а эта структура и есть логика.

Интуиционист предлагает иное определение: истинно лишь конструктивно доказанное. Здесь происходит подмена: интуиционист называет «истиной» наше знание об истине. Но отсутствие доказательства — свойство нашего эпистемического положения, не свойство самих чисел. Для любого конкретного чётного числа оно либо представимо как сумма двух простых, либо нет — независимо от того, проверили мы его или нет. Приравнивать свойства реальности к свойствам нашего доступа к ней значит приписывать реальности нашу собственную ограниченность.

В одном пункте направление с Брауэром сходится. Его критика направлена, по существу, против представления о бесконечном как о завершённой совокупности — против актуальной бесконечности, которую классическая математика после Кантора приняла молчаливо. Здесь мы согласны: бесконечности как завершённой области не существует; бесконечность — процесс, не совокупность.6 Но у Брауэра остаётся конструктивистская предпосылка: числа — то, что мы строим. В архитектуре направления числа не строятся — они производны от самого акта различения: различить A от не-A значит обнаружить единицу A и единицу не-A; всякий счёт — повторение единиц, каждая из которых есть производная акта различения.7 Счётность не строится математиком-конструктором и не обитает в платоновском небе — она форма закона тождества, раскрытого через различие.

Позиция лежит глубже классического спора «реализм против конструктивизма». Математика — форма проявления логики: если логика — структура самой реальности, то математика — язык, на котором эта структура говорит о количественных и структурных отношениях. Гипотеза Гольдбаха либо истинна, либо ложна — как факт этой реальности, не как произвольное соглашение и не как жилец платоновского неба.

Интуиционизм показывает, где конструктивная процедура не дотягивается до объёма утверждения, и предупреждает против необоснованного употребления актуальной бесконечности. Но сами несущие законы — тождество и непротиворечие — интуиционизм не отвергает; более того, он использует их, чтобы доказывать теоремы о системах без исключённого третьего. Исследуя границы классической логики, он стоит на её основаниях.

Разметка замкнута: различённое устойчиво, исключительно, исчерпывающе. Остаётся вопрос иного уровня — почему всякое различение именно таково, а не иное. Это вопрос мета-закона: Достаточное основание.

Опора: глава «Три Закона» — «Архитектура Рассуждения», том 1.

Раздел: Логика

См. также: Ошибки рассуждения

Навигация: ← Непротиворечие · Достаточное основание →

Footnotes

  1. Аристотель. Метафизика IV.7, 1011b23–24: «Не может быть ничего промежуточного между противоречащими утверждениями; относительно одного и того же необходимо либо нечто утверждать, либо отрицать» (пер. А. В. Кубицкого). См. также: Об истолковании, гл. 9 (19a23–b4) — пассаж о завтрашнем морском сражении, где Аристотель, по некоторым интерпретациям, ограничивает действие принципа для будущих случайных событий. ↩

  2. Закон непротиворечия: Aristotle. Metaphysica. IV.3, 1005b19–20. Закон исключённого третьего: Metaphysica. IV.7, 1011b23–24; см. также De interpretatione 9. Явную триаду principium identitatis / contradictionis / exclusi tertii как связанный набор ввёл Лейбниц: Nouveaux essais sur l’entendement humain (1704, опубл. 1765), кн. IV, гл. 2 и 7. Формализация как laws of thought закрепилась через: Hamilton W. Lectures on Metaphysics and Logic. Edinburgh: Blackwood, 1859–1860. Vol. III, Lectures V–VII. ↩

  3. Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881–1966). Основные работы: диссертация Over de Grondslagen der Wiskunde (1907); De onbetrouwbaarheid der logische principes // Tijdschrift voor Wijsbegeerte. 1908. Vol. 2. P. 152–158; Cambridge Lectures on Intuitionism (1951) / Ed. D. van Dalen. — Cambridge: CUP, 1981. Биография: van Dalen D. Mystic, Geometer, and Intuitionist. 2 vols. — Oxford: Clarendon Press, 1999–2005. ↩

  4. Hilbert D. Über das Unendliche // Mathematische Annalen. 1926. Bd. 95. S. 170: «Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können». Рус.: «Никто не изгонит нас из рая, который создал Кантор». ↩

  5. Hilbert D. Die Grundlagen der Mathematik // Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität. 1928. Bd. VI. S. 80: «Dieses Tertium non datur dem Mathematiker zu nehmen, wäre etwa, wie wenn man dem Astronomen das Fernrohr oder dem Boxer den Gebrauch der Fäuste untersagen wollte». ↩

  6. Различение актуальной и потенциальной бесконечности восходит к Аристотелю: Физика III.6, 206a14–25 — «бесконечное существует одним способом — в возможности», как незавершимый процесс, а не готовая совокупность. Канторовская теория трансфинитных чисел (1895–97) ввела актуальную бесконечность как легитимный объект — против этого шага и выступал Брауэр. Направление принимает потенциальную бесконечность как единственно возможную; на этом стоит вся процессная математика (Математика). ↩

  7. Выведение счёта из акта различения развёрнуто в направлении Математика. Родственные ходы в истории: у Гуссерля (Philosophie der Arithmetik, 1891) число выводится из акта коллекционирования; у Бадью (L’Être et l’événement, 1988) — из операции «счёта за одно». Исходный пункт направления иной: не коллекционирование и не операция счёта, а сам акт различия, удостоверенный законом тождества. ↩

Вид графа

Обратные ссылки