Глава 3. Волновое уравнение: распространение

Где стоит глава

От сглаживания к распространению

Уравнение теплопроводности (Глава 9.2) сглаживало: пространственный оператор играл роль усреднения, и процесс гасил неоднородности. Волновое уравнение

$${\partial }_t^{2}u=c^2{\partial }_x^{2}u$$

меняет роль того же лапласиана: теперь он не диссипирует, а распространяет. Возмущение не оседает, а бежит по среде с конечной скоростью $c$. Это гиперболический тип — второй из триптиха Части IX.

Ключевое отличие от тепла — второй порядок по времени. Чтобы сделать шаг, нужно знать не одно, а два предыдущих состояния: текущее $u^n$ и прошлое $u^{n-1}$ (аналог положения и скорости). И главное процессное содержание волны — не принцип максимума и не диссипация, а причинность: возмущение в узле может прийти только от ближайших соседей, поэтому фронт распространяется не более чем на один узел за шаг.

Что эта глава утверждает — и что нет

Доказанное ядро — причинность над ℚ. Схема чехарды (leapfrog) определена на парах grid-функций; доказана локальная причинность (конечная область зависимости) и конечная скорость распространения (тихая область остаётся тихой в своей внутренности), а распространение импульса вычислено точно.¹

Чего глава не делает: она не доказывает сохранение энергии волны. Для схемы чехарды дискретная энергия имеет неочевидную (зависящую от двух уровней) форму, и её сохранение — технически тонкий, дизайн-чувствительный результат; здесь он честно оставлен как граница (см. § «Энергия и граница»), а доказанным ядром служит причинность. Не строятся и завершённая непрерывная волна, дисперсионный анализ и поведение при $t\to \infty$ — роль-пределы.

Три уровня. Первый — конечная схема над ℚ: чехарда, локальная причинность, конечная скорость, конкретное распространение — доказаны без аксиом. Второй — процессные чтения: волна как процесс распространения, конечная скорость как причинность, пара уровней как состояние. Третий — сохранение энергии, завершённая волна и дисперсия — граница и роль-пределы.

E/R/R-каркас главы

Каркас в порождающем порядке; полный разбор — в § «Разбор в порождающем порядке». Опираемся на E/R/R-шапку ProcessWaveEnergy.v. Глава вводит систему волны как процесса распространения с конечной скоростью.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Схема чехарды $u_j^{n+1}=2u_j^n-u_j^{n-1}+s(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n)$, где $s=c^2(\Delta t/\Delta x{)}^2$; конечная область зависимости (значение зависит лишь от трёх соседей и собственного прошлого); отсюда конечная скорость — не более одного узла за шаг. Условие устойчивости (CFL) $c^2\le 1$ нужно для энергетического слоя (граница главы), а не для самой причинности.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Пара $(u^n,u^{n-1})$ — роль-состояние (нужны два уровня, второй порядок по времени); $s$ — роль-число-Куранта (квадрат); фронт возмущения — роль-граница распространения; конечная скорость — роль-причинность.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Рациональные значения в узлах на двух уровнях времени, конечная сетка. Под P4 завершённая волна и дисперсионный предел — вне элементов.

Чехарда: волна как распределённое колебание

Дискретизуем волновое уравнение центрированными разностями по времени и по пространству. Вторая разность по времени $(u_j^{n+1}-2u_j^n+u_j^{n-1})/\Delta t^2$ приравнивается к $c^2$, умноженному на пространственный лапласиан; разрешая относительно нового уровня, получаем схему чехарды (leapfrog):

$$u_j^{n+1}=2u_j^n-u_j^{n-1}+s(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n),s=c^2(\frac{\Delta t}{\Delta x}{)}^2.$$

В отличие от тепла, здесь нужны два предыдущих уровня: текущий профиль $u^n$ и прошлый $u^{n-1}$. Это прямое следствие второго порядка по времени — как для обыкновенного осциллятора нужны и положение, и скорость.²

Связь с Частью VIII здесь буквальна. Гармонический осциллятор $y»=-y$ (Глава 8.5) был одной колеблющейся точкой. Волновое уравнение — это цепочка таких осцилляторов, связанных лапласианом: каждый узел колеблется, подталкиваемый соседями, $u{»}_j=c^2(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})$. Волна есть распределённое колебание, а распространение — передача возмущения по цепочке связей. (Иерархия <<колебание $\to$ вибрация $\to$ волна>> прослежена в акустическом слое репозитория.)

Пара $(u^n,u^{n-1})$ — роль-состояние волны: второй порядок по времени требует двух уровней, как осциллятор требует положения и скорости. Лапласиан здесь играет роль-связь между соседними осцилляторами, а не роль-усреднение, как в тепле. Волна — роль-процесс распространения по этой связи.

Причинность: конечная область зависимости

Главное процессное содержание волны — причинность. Посмотрим на схему: новое значение $u_j^{n+1}$ выражено только через $u^n$ в узлах $j-1,j,j+1$ и через $u^{n-1}$ в самом узле $j$. Никакие дальние узлы в формулу не входят. Это конечная область зависимости: значение в узле определяется лишь его непосредственной окрестностью.

Отсюда немедленно — локальная причинность: если волна <<молчит>> в узле и его соседях (и молчала там на прошлом шаге), она будет молчать в этом узле и дальше:

$$u_{j-1}^n=u_j^n=u_{j+1}^n=0,u_j^{n-1}=0⟹u_j^{n+1}=0.$$

Возмущение не может возникнуть из ничего — только прийти от соседа.³

Конечная область зависимости — роль-правило причинности: будущее узла определяется лишь его настоящей окрестностью и собственным прошлым. Это первичное содержание волны — не сглаживание и не диссипация, а локальность распространения.

Конечная скорость распространения

Локальная причинность, применённая по всей тихой области, даёт конечную скорость. Если оба уровня волны равны нулю на отрезке узлов $[a,b]$, то после шага волна по-прежнему равна нулю на его внутренности $[a+1,b-1]$: возмущение проникает в тихую область не более чем на один узел с каждого края.⁴ За $n$ шагов фронт продвигается не более чем на $n$ узлов — это и есть конечная скорость распространения (не быстрее одного узла за шаг), дискретный аналог конуса влияния.

Сделаем это осязаемым. Поместим острый импульс в узел $2$ пятиузловой сетки (нулевая начальная <<скорость>>: прошлый уровень нулевой) и сделаем шаг с $s=\frac{1}{2}$. Пик в узле $2$ становится равным $1$; соседние узлы $1$ и $3$ получают значение $\frac{1}{2}$ — возмущение их достигло; а узлы $0$ и $4$, отстоящие на два шага, остаются нулевыми — фронт до них ещё не дошёл.⁵ Это конечная скорость во плоти: за один шаг возмущение расходится ровно на один узел в каждую сторону.

Фронт возмущения — роль-граница распространения, и движется он с конечной скоростью: не более одного узла за шаг. Конечность скорости — роль-следствие конечной области зависимости; в отличие от тепла, где локальный шаг играет роль усреднения, здесь локальный шаг играет роль передачи фронта.

Энергия и граница

Непрерывная волна сохраняет энергию — сумму кинетической и потенциальной, $E=\frac{1}{2}\int [({\partial }_{t}u{)}^2+c^2({\partial }_{x}u{)}^2]$. Для схемы чехарды существует дискретный сохраняющийся аналог, но его форма неочевидна: устойчивая дискретная энергия связывает два соседних уровня времени перекрёстным членом, и её сохранение — технически тонкий результат, чувствительный к выбору энергии. Честно: в настоящем изложении он не доказан; доказанным ядром служит причинность (конечная скорость), а дискретное сохранение энергии волны оставлено как граница — естественный следующий инкремент формализации.

Тем самым граница главы шире, чем у тепла. Помимо завершённой непрерывной волны $u(x,t)$, непрерывного предела и дисперсионного анализа (как меняется скорость с длиной волны), сохранение энергии здесь — тоже честно помеченный рубеж, а не доказанный факт. Доказано конечное и робастное: причинность и конечная скорость распространения над ℚ. Этого достаточно, чтобы вести волну как процесс с конечным конусом влияния, не вызывая к существованию ни завершённую волну, ни её энергию как готовый инвариант.

Сохранение энергии — инвариант, классически ожидаемый для непрерывной волны; для схемы чехарды он требует специальной дискретной энергии и здесь оставлен границей формализации (его можно доказать и без перехода к пределу — это просто не сделано здесь). Робастное процессное содержание волны — причинность: конечная область зависимости и конечная скорость, доказанные над ℚ.

E/R/R-разбор: волна как Роль-распространение

Постановка

Разберём построенную систему — волну как процесс распространения — в терминах E/R/R, читая E/R/R-шапку ProcessWaveEnergy.v.⁶ Это онтологическое осмысление и чтение шапки. Аббревиатура задаёт эпистемический порядок (Elements $\to$ Roles $\to$ Rules); разбор ведём в порождающем.

Разбор в порождающем порядке

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). В основании — схема чехарды $u^{n+1}=2u^n-u^{n-1}+s{\Delta }_h{u}^n$ с конечной областью зависимости. Над ней — причинность: локальная (нули в окрестности дают нуль) и глобальная (тихая область остаётся тихой во внутренности), откуда конечная скорость. Условие устойчивости $c^2\le 1$ (CFL) и сохранение энергии относятся к энергетическому слою, оставленному границей; доказанное ядро — причинность и конечная скорость. Универсальный E/R/R-слой задаёт роли и правила; конкретный формальный слой — формула чехарды и причинность.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Правила задают роли. Пара $(u^n,u^{n-1})$ — роль-состояние (второй порядок требует двух уровней). Лапласиан — роль-связь между соседними осцилляторами. Число Куранта $s$ — роль-режим устойчивости. Фронт возмущения — роль-граница распространения, движущаяся с конечной скоростью. А завершённая волна — роль-предел; дискретное сохранение энергии — граница формализации.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Носители конечны: рациональные значения в узлах на двух уровнях времени, конечная сетка, число Куранта $s\in Q$. Под P4 ни завершённая волна, ни дисперсионный предел не суть элементы: актуальны конечные профили на конечных стадиях.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
чехарда $u^{n+1}=2u^n-u^{n-1}+s{\Delta }_h{u}^n$; конечная область зависимости; конечная скорость (CFL/энергия — граница)	КАК распространяется возмущение	Rules ($L5$)
пара $(u^n,u^{n-1})$; лапласиан-связь; число Куранта; фронт; энергия как предел	ЗАЧЕМ значимы носители: роли в распространении	Roles ($L4$)
рациональные значения на двух уровнях; конечная сетка; $s\in Q$	ЧТО есть на каждой стадии (конечно, P4)	Elements ($L1$, P4)

Проверка сформированности и что даёт разбор

{ Система сформирована корректно: каждый компонент попадает ровно в одну E/R/R-категорию, и нет самоотнесения (P1). Существенно, что состояние волны — это пара уровней, а не один профиль: попытка обойтись одним уровнем смешала бы роль-состояние второго порядка с роль-состоянием первого. И существенно, что причинность выражена через конечную область зависимости — конечный факт о формуле шага, а не через завершённый конус влияния как объект. Именно поэтому волна здесь не нуждается ни в завершённой энергии, ни в непрерывном пределе: распространение есть процесс с конечной скоростью.}

Что даёт разбор. Он переводит главу на язык структуры: волна — это Роль-распространение; лапласиан — Роль-связь (а не усреднение); конечная скорость — Роль-следствие локальности; а значения на двух уровнях — Элементы. Брать завершённую волну или её энергию как объект-Элемент значит ставить роль-предел на место Элемента. Волна есть процесс распространения с конечной скоростью; её энергия и непрерывный предел — направление, а не построенные сущности.

Следующая глава замыкает триптих третьей ролью пространственного оператора — переносом: уравнение адвекции не сглаживает и не распространяет колебание, а движет профиль как целое, сохраняя массу.

---

---

Часть: Часть IX. Уравнения в частных производных · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 2. Уравнение теплопроводности: диффузия как сглаживание · Глава 4. Перенос и нелинейность →

Footnotes

1. Опорный файл — ProcessWaveEnergy.v (process/ Rocq-репозитория ToS): wave_step, локальная причинность wave_step_local_zero, конечная скорость wave_step_interior_zero, конкретное распространение wave_reaches_neighbor и wave_finite_speed_concrete. 6 доказанных утверждений, 0 аксиом (Print Assumptions: <>). Родственный ранний файл — acoustics/WavePropagation.v. ↩

2. wave_step и его линейность wave_step_linear в ProcessWaveEnergy.v. ↩

3. wave_step_local_zero в ProcessWaveEnergy.v: при нулевых трёх соседних текущих значениях и нулевом собственном прошлом следующее значение нуль. Доказательство — подстановка нулей в формулу шага. 0 аксиом. ↩

4. wave_step_interior_zero в ProcessWaveEnergy.v: из обнуления обоих уровней на $[a,b]$ следует обнуление следующего уровня на $[a+1,b-1]$. 0 аксиом. ↩

5. wave_reaches_neighbor: wave_step (1#2) 5 wzero wimp 1 == 1#2 (сосед достигнут); wave_finite_speed_concrete: wave_step (1#2) 5 wzero wimp 0 == 0 (узел на расстоянии 2 не достигнут); wave_peak_value: пик $=1$. Точная рациональная арифметика. ↩

6. Шапка размечает прямо: Rules — чехарда, конечная область зависимости, конечная скорость, CFL $c^2\le 1$; Roles — $(u^n,u^{n-1})$ роль-пара, $s$ роль-Куранта, фронт роль-граница, конечная скорость роль-причинность; Elements — рациональные значения на двух уровнях, конечная сетка. ↩