Глава 4. Перенос и нелинейность

Где стоит глава

Третья роль: чистое движение

Триптих Части IX замыкается третьей ролью пространственного оператора. Тепло сглаживало, волна распространяла возмущение, — уравнение переноса (адвекции)

$${\partial }_{t}u+a{\partial }_{x}u=0$$

просто движет профиль как целое, с постоянной скоростью $a$, не меняя его формы. Это простейшее из уравнений в частных производных: его точное решение есть сдвинутые начальные данные, $u(x,t)=u_0(x-at)$ — профиль, перенесённый вправо.

Несмотря на простоту, перенос важен вдвойне. Во-первых, он демонстрирует сохранение в чистом виде: при переносе ничего не создаётся и не исчезает, полная масса неизменна. Во-вторых, он — ворота к нелинейности: стоит скорости $a$ самой зависеть от решения, как линейный перенос превращается в уравнение Бюргерса, рождающее ударные волны, а оттуда — прямая дорога к Навье–Стоксу (Глава 9.5).

Что эта глава утверждает — и что нет

Доказанное ядро — над ℚ и конкретное. Схема переноса «против потока» (upwind) определена на grid-функциях; при числе Куранта $0\le \nu \le 1$ доказаны сохранение бокса и неотрицательности, сохранение полной массы на периодической сетке и точный сдвиг профиля при $\nu =1$.¹

Чего глава не делает: она не формализует нелинейный перенос (уравнение Бюргерса), ударные волны и слабые (энтропийные) решения. Разрывное решение есть завершённый объект-скачок, выходящий за рамки гладкого процесса; здесь нелинейность — честно помеченная граница (§ «Граница нелинейности: Бюргерс и ударные волны»). Не строится и завершённое непрерывное решение $u(x-at)$ — роль-предел.

Три уровня. Первый — конечная схема над ℚ: upwind, сохранение массы, бокс, сдвиг — доказаны без аксиом. Второй — процессные чтения: перенос как процесс движения профиля, $\nu$ как число Куранта, масса как сохраняющаяся величина. Третий — нелинейный перенос, ударные волны, завершённое решение — граница и роль-пределы.

E/R/R-каркас главы

Каркас в порождающем порядке; полный разбор — в § «Разбор в порождающем порядке». Опираемся на E/R/R-шапку ProcessTransport.v. Глава вводит систему переноса как процесса движения профиля с сохранением массы.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Схема против потока $u_j^{n+1}=(1-\nu )u_j+\nu u_{j-1}$, где $\nu =a\Delta t/\Delta x$ — число Куранта; при $0\le \nu \le 1$ это выпуклая комбинация (сохранение бокса и неотрицательности); полная масса ${\sum }_j{u}_j$ сохраняется; при $\nu =1$ — точный сдвиг на один узел; условие CFL $\nu \le 1$ (в этой главе оно проявляется как неотрицательность весов и сохранение бокса, а не отдельная спектральная оценка).

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Профиль $u^n$ — роль-состояние; $\nu$ — роль-число-Куранта (на какую долю узла профиль смещается за шаг); полная масса — роль-сохраняющаяся величина; сдвиг — роль-перенос; скорость $a$ — роль-скорость движения.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Рациональные значения в узлах $u_j^n$, конечная сетка, конечный шаг. Под P4 завершённое решение $u(x-at)$ и разрывные (ударные) объекты — вне элементов.

Схема против потока: шаг как сдвиг-усреднение

Перенос направлен (скорость $a>0$ движет профиль вправо), поэтому разумная схема смотрит против потока — на узел слева, откуда приходит значение:

$$u_j^{n+1}=u_j^n-\nu (u_j^n-u_{j-1}^n)=(1-\nu )u_j^n+\nu u_{j-1}^n,\nu =a\frac{\Delta t}{\Delta x}.$$

Как и в тепле, перегруппировка обнажает структуру: при $0\le \nu \le 1$ новое значение есть выпуклое среднее текущего узла и его левого соседа (веса $1-\nu$ и $\nu$ — доли).² Условие устойчивости $\nu \le 1$ — это снова требование, чтобы веса были неотрицательны: профиль не может за один шаг сместиться больше чем на один узел (информация не обгоняет сетку).

Два крайних случая поучительны. При $\nu =0$ (нет движения) профиль стоит. При $\nu =1$ веса становятся $(0,1)$, и шаг есть точный сдвиг: $u_j^{n+1}=u_{j-1}^n$ — весь профиль переезжает ровно на один узел вправо, без искажения.³ При промежуточных $\nu$ профиль движется и слегка размывается (численная диффузия), но всегда остаётся выпуклым средним — отсюда все его свойства.

Шаг переноса — роль-смещение: он сдвигает профиль на долю $\nu$ узла, беря взвешенное среднее с наветренным (upstream) соседом — тем узлом, откуда приходит поток (значение из узла $j-1$ движется в узел $j$). Число Куранта $\nu$ — роль-доля смещения; условие $\nu \le 1$ — роль-режим, в котором информация не обгоняет сетку. При $\nu =1$ смещение точно на узел.

Сохранение массы и положительность

Главное свойство переноса — сохранение массы. Полная масса ${\sum }_j{u}_j$ не меняется со временем: перенос ничего не создаёт и не уничтожает, лишь перемещает. На непустой периодической сетке это доказывается прямо:

$$\sum _j{u}_j^{n+1}=(1-\nu )\sum _j{u}_j+\nu \sum _j{u}_{j-1}=(1-\nu )\sum _j{u}_j+\nu \sum _j{u}_j=\sum _j{u}_j,$$

где использовано, что сумма по сдвинутым узлам равна сумме по исходным (циклическая перестановка узлов).⁴ Существенно, что для сохранения массы даже не нужно $\nu \le 1$: масса сохраняется при любом числе Куранта, потому что перенос есть перераспределение.

А выпуклая структура (при $0\le \nu \le 1$) даёт ещё два свойства. Неотрицательность: если профиль всюду неотрицателен (например, плотность), он таким и останется.⁵ И сохранение бокса: значения не выходят за начальные пределы — на всём процессе.⁶

Полная масса — роль-сохраняющаяся величина: перенос её не меняет, ибо лишь перемещает профиль. Неотрицательность и бокс — роль-инварианты выпуклого шага. Это закон сохранения в чистейшем виде: количество фиксировано, меняется лишь положение.

Конкретный прогон

Возьмём профиль $(5,3,0,0)$ на четырёхузловой сетке — полная масса $8$. Полушаг ($\nu =\frac{1}{2}$) сдвигает и слегка размывает его, но масса остаётся $8$.⁷ А полный шаг ($\nu =1$) переносит профиль ровно на узел: значение, бывшее в узле $0$ (равное $5$), оказывается в узле $1$.⁸ Перенос во плоти: то же количество, новое положение.

Граница нелинейности: Бюргерс и ударные волны

Линейный перенос прозрачен, потому что скорость $a$ постоянна. Но что, если скорость зависит от решения? Заменив $a$ на само $u$, получаем уравнение Бюргерса

$${\partial }_{t}u+u{\partial }_{x}u=0,$$

простейшую модель нелинейного переноса. Здесь высокие значения движутся быстрее низких, и профиль укручается: гладкий горб со временем заваливается вперёд, пока фронт не становится вертикальным. В этот момент рождается ударная волна — разрыв, скачок.

И вот здесь — честная граница. Разрыв не является гладкой стадией текущего линейного процесса переноса: его корректное описание требует слабых (энтропийных) решений и условий отбора — слоя, который ToS здесь не строит (процессные shock-захватывающие схемы в принципе возможны, но это отдельная задача). Нелинейный перенос, ударные волны и энтропийные решения — граница формализации этой части.

Но именно эта граница задаёт дорогу к финальной главе. Уравнения Навье–Стокса соединяют все три роли триптиха: вязкость — это диффузия (тепло), давление связывает удалённые части поля через ограничение несжимаемости, а конвективный член $u\cdot \nabla u$ — это в точности бюргерсова нелинейность, перенесённая в три измерения и векторную форму. Трудность Навье–Стокса — трудность этого нелинейного переноса; и именно энергетические методы (диссипация, как в тепле) дают то, что доказуемо. К ним обращается Глава 9.5.

Нелинейный перенос — граница гладкого процесса: когда скорость становится самим решением, профиль укручается в разрыв, а разрыв — объект слабого (энтропийного) предельного слоя, а не элемент гладкой сеточной схемы. Здесь ToS честно останавливается на линейном переносе; нелинейность — направление к Навье–Стоксу, где её усмиряет диссипация.

E/R/R-разбор: перенос как Роль-движение

Постановка

Разберём построенную систему — перенос как процесс движения профиля — в терминах E/R/R, читая E/R/R-шапку ProcessTransport.v.⁹ Это онтологическое осмысление и чтение шапки. Аббревиатура задаёт эпистемический порядок (Elements $\to$ Roles $\to$ Rules); разбор ведём в порождающем.

Разбор в порождающем порядке

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). В основании — схема против потока $u_j^{n+1}=(1-\nu )u_j+\nu u_{j-1}$, при $0\le \nu \le 1$ выпуклая. Над ней — сохранение массы (циклический сдвиг суммы), неотрицательность и сохранение бокса; при $\nu =1$ — точный сдвиг. Венчает — условие устойчивости $\nu \le 1$ (неотрицательность весов). Нелинейный перенос (Бюргерс, ударные волны) — правило, выходящее за гладкий процесс, и оставленное границей. Универсальный E/R/R-слой задаёт роли и правила; конкретный формальный слой — формула шага, сохранение массы, бокс и CFL.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Правила задают роли. Профиль $u^n$ — роль-состояние. Число Куранта $\nu$ — роль-доля смещения за шаг. Полная масса — роль-сохраняющаяся величина. Сдвиг — роль-перенос. Скорость $a$ — роль-скорость движения. А завершённое решение $u(x-at)$ и ударная волна — роль-предел (и граница для нелинейного случая).

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Носители конечны: рациональные значения в узлах $u_j^n\in Q$, веса $1-\nu ,\nu \in Q$, конечная сетка, конечный шаг. Под P4 ни завершённое решение, ни разрыв не суть элементы: актуальны конечные профили на конечных стадиях.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
upwind $u_j^{n+1}=(1-\nu )u_j+\nu u_{j-1}$; сохранение массы; бокс; сдвиг при $\nu =1$; CFL $\nu \le 1$	КАК профиль движется с сохранением массы	Rules ($L5$)
профиль $u^n$; число Куранта $\nu$; масса; сдвиг; скорость $a$; решение $u(x-at)$ как предел	ЗАЧЕМ значимы носители: роли в движении	Roles ($L4$)
$u_j^n\in Q$; веса $1-\nu ,\nu$; конечная сетка; шаг	ЧТО есть на каждой стадии (конечно, P4)	Elements ($L1$, P4)

Проверка сформированности и что даёт разбор

{ Система сформирована корректно: каждый компонент попадает ровно в одну E/R/R-категорию, и нет самоотнесения (P1). Существенно, что сохранение массы выражено как равенство конечных сумм (через циклический сдвиг), а не через интеграл по завершённой области; что движение — это сдвиг конечного профиля, а не эволюция готовой функции $u(x-at)$; и что разрыв (ударная волна) сознательно не взят элементом — он выходит за гладкий процесс и помечен границей. Именно поэтому линейный перенос здесь полностью конечен и рационален, а нелинейный честно отложен.}

Что даёт разбор. Он переводит главу на язык структуры: перенос — это Роль-движение профиля; сохранение массы — Правило (количество фиксировано, меняется положение); число Куранта — Роль-доля смещения; а значения $u_j^n$ — Элементы. Брать завершённое решение или ударную волну как объект-Элемент значит ставить роль-предел (или внепроцессный разрыв) на место Элемента. Линейный перенос есть конечный процесс движения с сохранением массы; нелинейность — направление к Навье–Стоксу.

Заключительная глава Части обращается к этому направлению: уравнения Навье–Стокса, где сходятся все три роли триптиха — диффузия, перенос, связь, — и где энергетические методы дают диссипацию и условную регулярность, а безусловная трёхмерная регулярность остаётся честной <<стеной>>.

---

---

Часть: Часть IX. Уравнения в частных производных · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 3. Волновое уравнение: распространение · Глава 5. Навье–Стокс и синтез →

Footnotes

1. Опорный файл — ProcessTransport.v (process/ Rocq-репозитория ToS): transport_step, сохранение бокса transport_step_box/transport_iter_box, неотрицательность transport_step_nonneg, сохранение массы transport_mass, точный сдвиг transport_shift, конкретный прогон transport_mass_concrete и transport_full_shift. 8 доказанных утверждений, 0 аксиом (Print Assumptions: <>). ↩

2. transport_step в ProcessTransport.v; линейность — transport_step_linear. Левый сосед на периодической сетке — циклический предшественник ppred. ↩

3. transport_shift: transport_step 1 N u j == u (ppred N j). Точный сдвиг — предельно допустимое по CFL движение за шаг. ↩

4. transport_mass в ProcessTransport.v: sum_Q_ns (transport_step nu N u) N == sum_Q_ns u N. Опирается на sum_pred_shift_periodic (Глава 9.1); требует лишь $N>0$ — циклический сдвиг суммы — и не зависит от $\nu$. 0 аксиом. ↩

5. transport_step_nonneg: при $0\le \nu \le 1$ из неотрицательности следует неотрицательность. ↩

6. transport_step_box и transport_iter_box: выпуклая комбинация удерживает значения в $[m,M]$, как и в тепле. ↩

7. transport_mass_concrete: sum_Q_ns (transport_step (1#2) 4 p_prof) 4 == 8. Точная рациональная арифметика. ↩

8. transport_full_shift: transport_step 1 4 p_prof 1 == 5. ↩

9. Шапка размечает прямо: Rules — upwind-шаг, выпуклая комбинация при $\nu \le 1$, сохранение массы, сдвиг при $\nu =1$, CFL; Roles — $u^n$ роль-профиль, $\nu$ роль-Куранта, масса роль-сохраняющаяся, сдвиг роль-перенос; Elements — рациональные $u_j$, конечная сетка. ↩