Глава 2. Уравнение теплопроводности: диффузия как сглаживание

Где стоит глава

Канонический параболический процесс

Глава 9.1 задала каркас: решение уравнения в частных производных — процесс grid-функций, а пространственная производная — конечная разность. Настоящая глава — центр Части IX: первый и самый показательный из этих процессов, уравнение теплопроводности

$${\partial }_{t}u={\partial }_x^{2}u.$$

Оно описывает, как распределение тепла (или концентрации, или вероятности) сглаживается со временем: пики оседают, впадины заполняются, профиль стремится к равномерному. ToS предъявляет это как процесс на сетке — и показывает, что вся содержательная физика теплопроводности (принцип максимума, диссипация энергии) есть конечная рациональная математика, без обращения к завершённому решению.

Ключ ко всей главе — одно наблюдение о структуре явной схемы: при выполнении условия устойчивости новое значение в узле есть выпуклое среднее соседних значений. Из этого единственного факта вытекает и сглаживание, и принцип максимума, и убывание энергии.

Что эта глава утверждает — и что нет

Доказанное ядро — конкретное и над ℚ. Явная схема теплопроводности определена как рекурсия над grid-функциями; при $0\le r\le \frac{1}{2}$ доказан принцип максимума (значения не выходят за начальные пределы) и диссипация энергии (норма не растёт), а сглаживание импульса вычислено точно.¹

Чего глава не делает: она не строит завершённую функцию-решение $u(x,t)$, не доказывает непрерывный предел (измельчение сетки до нуля), не вводит тепловое ядро (гауссиану) как готовый объект и не доказывает сходимость к равновесию при $t\to \infty$. Эти пределы — роль-пределы.

Три уровня. Первый — конечная схема над ℚ: выпуклая комбинация, принцип максимума, диссипация энергии, конкретное сглаживание — доказаны без аксиом. Второй — процессные чтения: теплопроводность как процесс сглаживания, $r$ как скорость диффузии, равномерный профиль как роль-предел. Третий — завершённое решение, непрерывный предел и тепловое ядро — роль-пределы и направление.

E/R/R-каркас главы

Каркас в порождающем порядке; полный разбор — в § «Разбор в порождающем порядке». Опираемся на E/R/R-шапку ProcessHeatEquation.v. Глава вводит систему диффузии как процесса сглаживания.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Явная схема $u_j^{n+1}=r{u}_{j-1}+(1-2r)u_j+r{u}_{j+1}$; при $0\le r\le \frac{1}{2}$ коэффициенты неотрицательны и в сумме дают единицу (выпуклая комбинация); отсюда принцип максимума и диссипация энергии ${\sum }_j{u}_j^2$; условие устойчивости (CFL) $r\le \frac{1}{2}$.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Профиль $u^n$ — роль-состояние (распределение тепла в момент $n$); $r$ — роль-скорость диффузии; интервал значений $[\min ,\max ]$ — роль-инвариант (его принцип максимума сохраняет); энергия — роль-диссипирующая величина; равномерный предел — роль-предел.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Рациональные значения в узлах $u_j^n$, конечная сетка, конечный номер шага. Под P4 завершённое решение и тепловое ядро — вне элементов.

Явная схема: шаг как выпуклое среднее

Дискретизуем теплопроводность методом Эйлера во времени и центрированной разностью в пространстве. Лапласиан в узле — центрированная вторая разность $u_{j+1}-2u_j+u_{j-1}$,² и шаг схемы есть

$$u_j^{n+1}=u_j^n+r(u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n),r=\frac{\Delta t}{\Delta x^2}.$$

Перегруппируем это выражение — и здесь вся суть главы:

$$u_j^{n+1}=r{u}_{j-1}^n+(1-2r)u_j^n+r{u}_{j+1}^n.$$

При $0\le r\le \frac{1}{2}$ три коэффициента $r,1-2r,r$ неотрицательны и в сумме равны единице. Значит, новое значение — выпуклое среднее (взвешенное, с весами-долями) старого значения и двух его соседей.³ Условие устойчивости $r\le \frac{1}{2}$ есть в точности требование, чтобы веса были долями (неотрицательны): тогда шаг усредняет.

Шаг теплопроводности — роль-усреднение: он заменяет значение взвешенным средним соседей. Скорость диффузии $r$ — роль-вес перемешивания. Условие $r\le \frac{1}{2}$ — роль-режим, в котором веса остаются долями, а шаг — настоящим усреднением. Из этой одной структуры — всё дальнейшее.

Принцип максимума

Первое и главное следствие усреднения — принцип максимума. Среднее нескольких чисел не больше наибольшего из них и не меньше наименьшего. Поэтому, если все значения профиля лежат в интервале $[m,M]$, то и любое выпуклое среднее лежит в $[m,M]$ — а значит, и весь следующий профиль:

$$m\le u_j^n\le M(\forall j)⟹m\le u_j^{n+1}\le M(\forall j).$$

Это доказано прямо из выпуклости комбинации, при $0\le r\le \frac{1}{2}$.⁴ По индукции принцип держится на всём процессе: сколько бы шагов ни прошло, значения не выходят за начальные пределы.⁵

Физический смысл точен: теплопроводность не создаёт новых экстремумов. Ни одно значение не превысит начального верхнего барьера $M$ и не опустится ниже нижнего $m$; в температурной картине это значит, что не возникнет точки горячее самой горячей начальной и холоднее самой холодной — тепло лишь перераспределяется. Это — дискретный принцип максимума, и над ℚ он есть конечный факт о выпуклых комбинациях, а не предельная теорема.

Интервал значений $[m,M]$ — роль-инвариант: усреднение не может вывести значение за его пределы. Принцип максимума — роль-правило сохранения этого инварианта; он первичен (следует прямо из выпуклости) и не требует ни энергии, ни предельного перехода.

Диссипация энергии

Второе следствие усреднения — диссипация энергии. Под энергией здесь понимаем дискретную $L^2$-энергию $E={\sum }_j{u}_j^2$ — простую меру величины (концентрации) профиля; при сохранённой массе её убывание соответствует сглаживанию. Усреднение сглаживает, поэтому энергия не должна расти — и не растёт:

$$E(u^{n+1})\le E(u^n)(0\le r\le \frac{1}{2},\text{периодическая сетка}).$$

Механизм — неравенство Йенсена: квадрат выпуклого среднего не превосходит того же среднего квадратов (геометрически это неотрицательность дисперсии). Применив его поузельно и просуммировав, получаем

$$\sum _j(u_j^{n+1}{)}^2\le \sum _j[r{u}_{j-1}^2+(1-2r)u_j^2+r{u}_{j+1}^2],$$

а на периодической сетке суммы сдвинутых квадратов равны несдвинутой (циклическая перестановка узлов не меняет суммы), поэтому правая часть равна $[r+(1-2r)+r]{\sum }_j{u}_j^2={\sum }_j{u}_j^2$.⁶ Энергия диссипирует: с каждым шагом профиль становится более <<гладким>> в этой точной рациональной мере. Здесь существенно использована именно периодическая сетка: левый и правый сдвиг суть перестановки конечного набора узлов; для иных границ (Дирихле, Неймана) появились бы отдельные граничные члены.

Это вторичный слой относительно принципа максимума: он сильнее (даёт количественную меру сглаживания), но и техничнее (опирается на выпуклость и сдвиги сумм). Оба вместе — конечные факты над ℚ.

$L^2$-энергия $\sum u_j^2$ — роль-диссипирующая величина: мера концентрации профиля, которую усреднение монотонно уменьшает. Диссипация — роль-правило (количественное сглаживание), надстроенное над принципом максимума (качественным удержанием в боксе).

Сглаживание импульса и граница

Сделаем процесс осязаемым. Возьмём острый импульс на сетке из четырёх узлов — значение $1$ в одном узле, $0$ в остальных — и сделаем один шаг с $r=\frac{1}{4}$. Пик оседает с $1$ до $\frac{1}{2}$, а соседи поднимаются до $\frac{1}{4}$: профиль $(1,0,0,0)$ переходит в $(\frac{1}{2},\frac{1}{4},0,\frac{1}{4})$.⁷ Энергия падает с $1$ до $\frac{3}{8}$,⁸ в согласии и с принципом максимума (пик не вырос), и с диссипацией (энергия упала). Это сглаживание во плоти: острый пик растекается по соседям.

Где граница. Доказано конечное: одна сетка, конечное число шагов, точные рациональные значения. Завершённое непрерывное решение $u(x,t)$, предел измельчения сетки ($\Delta x,\Delta t\to 0$), тепловое ядро (гауссиана $\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-x^2/4t}$) как готовый объект и сходимость к равновесию при $t\to \infty$ — всё это роль-пределы. Процесс сглаживания направлен к ним, но ToS не актуализирует их как объекты: достаточно конечного процесса с принципом максимума и диссипацией.

E/R/R-разбор: диффузия как Роль-усреднение

Постановка

Разберём построенную систему — теплопроводность как процесс сглаживания — в терминах E/R/R, читая E/R/R-шапку ProcessHeatEquation.v.⁹ Это онтологическое осмысление и чтение шапки. Аббревиатура задаёт эпистемический порядок (Elements $\to$ Roles $\to$ Rules); разбор ведём в порождающем.

Разбор в порождающем порядке

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). В основании — явная схема $u_j^{n+1}=r{u}_{j-1}+(1-2r)u_j+r{u}_{j+1}$, которая при $0\le r\le \frac{1}{2}$ есть выпуклое усреднение. Над ней — два следствия: принцип максимума (выпуклое среднее не покидает интервал значений) и диссипация энергии (Йенсен плюс циклические сдвиги сумм). Венчает — условие устойчивости $r\le \frac{1}{2}$, оно же неотрицательность весов. Универсальный E/R/R-слой задаёт роли и правила; конкретный формальный слой — формула шага, CFL и конечные рациональные неравенства.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Правила задают роли. Профиль $u^n$ — роль-состояние (распределение тепла во времени). Скорость $r$ — роль-веса перемешивания. Интервал $[m,M]$ — роль-инвариант, сохраняемый принципом максимума. Энергия — роль-диссипирующая величина. Условие $r\le \frac{1}{2}$ — роль-режим (веса суть доли). А равномерный профиль, к которому диффузия стремится, — роль-предел, не актуализируемый как завершённое решение.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Носители конечны: рациональные значения в узлах $u_j^n\in Q$, веса $r,1-2r\in Q$, конечная сетка, конечный номер шага. Под P4 ни завершённое решение, ни тепловое ядро не суть элементы: актуальны конечные профили на конечных стадиях.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
схема $u_j^{n+1}=r{u}_{j-1}+(1-2r)u_j+r{u}_{j+1}$; принцип максимума; диссипация; CFL $r\le \frac{1}{2}$	КАК устроено усреднение и что оно сохраняет	Rules ($L5$)
профиль $u^n$; скорость $r$; бокс-инвариант; энергия; равномерный предел	ЗАЧЕМ значимы носители: роли в сглаживании	Roles ($L4$)
$u_j^n\in Q$; веса $r,1-2r$; конечная сетка; номер шага	ЧТО есть на каждой стадии (конечно, P4)	Elements ($L1$, P4)

Проверка сформированности и что даёт разбор

{ Система сформирована корректно: каждый компонент попадает ровно в одну E/R/R-категорию, и нет самоотнесения (P1). Существенно, что принцип максимума выражен как сохранение интервала-инварианта, а не через построение максимума и минимума как отдельных объектов; а диссипация — как монотонность конечной суммы. Ни <<завершённое решение>>, ни <<предельный профиль>> не входят элементом: усреднение действует на конечный профиль и порождает конечный профиль. Именно поэтому теплопроводность здесь не нуждается ни в гауссиане, ни в непрерывном пределе.}

Что даёт разбор. Он переводит главу на язык структуры: диффузия — это Роль-усреднение, принцип максимума — Правило сохранения интервала-инварианта, диссипация — Правило монотонного сглаживания, а значения $u_j^n$ и веса $r$ — Элементы. Брать тепловое ядро или $u(x,t)$ как завершённый объект-Элемент значит ставить роль-предел на место Элемента — то же смешение, что <<решение ОДУ как готовая функция>> (Глава 8.1). Теплопроводность есть процесс усреднения; его предел — направление, а не построенная сущность.

Следующая глава меняет роль пространственного оператора: от сглаживающей диффузии — к распространению. Волновое уравнение не усредняет, а передаёт возмущение с конечной скоростью; его процессное ядро — причинность.

---

---

Часть: Часть IX. Уравнения в частных производных · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 1. Решение как процесс на пространственно-временной сетке · Глава 3. Волновое уравнение: распространение →

Footnotes

1. Опорный файл — ProcessHeatEquation.v (каталог process/ Rocq-репозитория ToS): heat_step, принцип максимума heat_step_box/heat_iter_box, диссипация heat_step_energy, конкретное сглаживание heat_peak_drops и heat_energy_decreased. 8 доказанных утверждений, 0 аксиом (Print Assumptions: <>). Инструменты диссипации — из ProcessPDEGreen.v (Глава 9.1). ↩

2. Здесь, как и предупреждалось в Главе 9.1, используется центрированный лапласиан (а не повторная прямая разность dd); левый сосед на периодической сетке — циклический предшественник ppred. ↩

3. heat_step в ProcessHeatEquation.v; линейность — heat_step_linear. Условие $0\le r\le \frac{1}{2}$ ровно и есть неотрицательность весов: это и CFL-условие устойчивости. ↩

4. heat_step_box в ProcessHeatEquation.v: при $0\le r$ и $2r\le 1$ из in_box u lo hi следует in_box (heat_step r N u) lo hi. Доказательство — неотрицательность весов плюс то, что они в сумме единица; ни максимума, ни минимума как отдельных объектов строить не нужно — работаем с инвариантом интервала. 0 аксиом. ↩

5. heat_iter_box: для любого числа шагов in_box сохраняется. 0 аксиом. ↩

6. heat_step_energy в ProcessHeatEquation.v: поузельный Йенсен jensen3 (неотрицательность дисперсии трёхточечной выпуклой комбинации) плюс леммы о циклическом сдвиге суммы (sum_pred_shift_periodic, sum_ns_shift_periodic из ProcessPDEGreen.v, Глава 9.1). 0 аксиом. ↩

7. heat_peak_drops: heat_step (1#4) 4 u_imp 0 == 1#2. Точная рациональная арифметика (vm_compute). ↩

8. heat_energy_value ($E=3/8$) и heat_energy_decreased ($3/8<1$) в ProcessHeatEquation.v. ↩

9. Шапка размечает прямо: Rules — heat_step как выпуклая комбинация при $r\le \frac{1}{2}$, принцип максимума, диссипация; Roles — $u^n$ роль-состояние, $r$ роль-скорость, бокс роль-инвариант, энергия роль-диссипирующая; Elements — рациональные $u_j$, конечная сетка, шаг. ↩