Глава 4. Алгебра Ли и инфинитезимальная структура

Где стоит глава

Глава 12.3 построила группы вращений над $Q$ и их двойное накрытие $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$. У всякой группы вращений есть инфинитезимальная тень — алгебра Ли: касательная структура в единице, кодирующая, как симметрии начинают двигаться. Классика берёт её через производную однопараметрической группы — предел, которому нужен $R$. ToS берёт иначе.

В рамках P4-онтологии ToS:

• «алгебра Ли» есть инфинитезимальное ПРАВИЛО — скобка $[X,Y]$, заданная прямо как конечная операция над $Q$, а не как предел производной;
• для вращений это $\text{so}(3)\cong \text{su}(2)$, реализованная как $(Q^3,\text{векторное произведение})$ со структурными константами $[e_i,e_j]={\epsilon }_{ijk}{e}_k$;
• «экспонента» $\exp :\text{g}\to G$, переводящая алгебру в группу, — роль-предел (ей нужны $\cos /\sin$ или ряд); её рациональная замена — отображение Кэли;
• полная гладкая аналитическая экспонента и соответствие Ли над $R$ — роль-предел (континуум-цена Части X), карту которой даёт 12.6.

Центральный тезис главы. Инфинитезимальная симметрия в ToS — это конечное правило (скобка над $Q$ с тождеством Якоби), а не предельный объект анализа. Группа восстанавливается из алгебры рациональным отображением Кэли; аналитическая экспонента — гладкий роль-предел.

Алгебра Ли — инфинитезимальное правило (скобка над $Q$), а не предел производной; $\text{so}(3)\cong \text{su}(2)$ конкретна; экспонента — роль-предел, её рациональная замена — Кэли.

Скобка как инфинитезимальное правило: $\text{so}(3)${so(3)} над $Q${Q}

Классически элемент алгебры Ли — это касательный вектор в единице группы: производная $\frac{d}{dt}{|}_{0}R(t)$ однопараметрического семейства вращений. Брать производную в классической форме — значит брать предел, опираясь на слой над $R$. ToS делает обратный ход: задаёт алгебру прямо как конечную операцию. Алгебра $\text{so}(3)$ — это просто $Q^3$ со скобкой, равной векторному произведению:

$$[a,b]=a\times b=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1).$$

Никакого предела: скобка — конечное рациональное правило над тройками координат.¹

Содержание алгебры — в структурных константах. На базисе $e_1,e_2,e_3$ скобка замкнута и циклична:

$$[e_1,e_2]=e_3,[e_2,e_3]=e_1,[e_3,e_1]=e_2$$

(то есть $[e_i,e_j]={\epsilon }_{ijk}{e}_k$ с символом Леви–Чивиты). Это правило, из которого вырастает вся группа вращений; оно целочисленно и проверяется кольцевой арифметикой.²

Скобка удовлетворяет аксиомам алгебры Ли — и все они доказаны над $Q$ без аксиом теории: антисимметрия $[a,b]=-[b,a]$ (и $[a,a]=0$); билинейность по обоим аргументам; и главное — тождество Якоби

$$[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0,$$

заменяющее ассоциативность в мире скобок. Алгебра неабелева: $[e_1,e_2]=e_3\ne -e_3=[e_2,e_1]$.³ Перед нами полный набор аксиом алгебры Ли для этого конкретного рационального примера — инфинитезимальное правило симметрии, целиком на конечных рациональных данных.

$\text{so}(3)$ над $Q$ — это $(Q^3,\times )$: скобка как конечное правило, структурные константы $[e_i,e_j]={\epsilon }_{ijk}{e}_k$, антисимметрия, билинейность, Якоби, неабелевость — без предела и без аксиом.

$\text{so}(3)\cong \text{su}(2)${so(3) = su(2)}: накрытие невидимо инфинитезимально

У алгебры из §12.4.2 есть второе имя — $\text{su}(2)$. Образующие $\text{su}(2)$ (антиэрмитовы матрицы $T_k=-\frac{i}{2}{\sigma }_k$ на базисе Паули) подчиняются тем же структурным константам $[T_i,T_j]={\epsilon }_{ijk}{T}_k$. Векторное произведение на $Q^3$ — их общая рациональная реализация: одна и та же таблица скобок ${\epsilon }_{ijk}$ есть и $\text{so}(3)$, и $\text{su}(2)$.⁴

Это проясняет двойное накрытие главы 12.3 с другой стороны. На групповом уровне $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$ — отображение $2:1$ ($q$ и $-q$ — одно вращение). Но на инфинитезимальном уровне накрытие исчезает: у $\text{SU}(2)$ и $\text{SO}(3)$ одна и та же алгебра Ли. Накрытие — глобальный (топологический) феномен; скобка его не видит. Алгебра — локальное правило, общее для группы и её накрытия; различает их лишь глобальная склейка, к которой скобка нечувствительна.

$\text{so}(3)\cong \text{su}(2)$ — одна рациональная скобка ${\epsilon }_{ijk}$. Двойное накрытие $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$ глобально (топологически) и инфинитезимально невидимо: у группы и её накрытия одна алгебра Ли.

Экспонента как роль-предел; отображение Кэли

Алгебра — инфинитезимальное правило; группа — его интеграл. Классический мост — экспонента $\exp :\text{g}\to G$: для $\text{so}(2)$ это $\exp (\theta J)=\cos \theta \cdot I+\sin \theta \cdot J$ — поворот на угол $\theta$. Но $\cos \theta ,\sin \theta$ для рационального $\theta$ почти всегда иррациональны (§12.3): аналитическая экспонента выходит в континуум — это роль-предел, как процесс Коши в Части IV.

ToS держит мост рациональным отображением — Кэли. В двух измерениях это уже знакомая карта $t\mapsto (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ из §12.3.2, попадающая точно в рациональные точки $\text{SO}(2,Q)$. В трёх измерениях для кососимметричной матрицы $K=\hat{v}$ (образ вектора $v\in Q^3$ — элемента $\text{so}(3)$) преобразование Кэли

$$R=(I-K)(I+K{)}^{-1}$$

даёт рациональную матрицу вращения. Чтобы остаться в кольцевой арифметике (без обращения матриц), работаем с числителем $N=(1+\text{norm}{v}^2)R$ и доказываем кольцевое тождество

$$N^{\mathsf{T}}N=(1+\text{norm}{v}^2{)}^{2}I,\det N=(1+\text{norm}{v}^2{)}^3,$$

откуда $R=N/(1+\text{norm}{v}^2)\in \text{SO}(3,Q)$: ортогональна с определителем $+1$. Нормировка — рациональный знаменатель $1+\text{norm}{v}^2>0$; для $v=(1,0,0)$ выходит поворот на $90^{\circ }$ вокруг оси $x$.⁵ Так алгебра Ли из §12.4.2 соединяется с группой вращений из 12.3 рациональным мостом Кэли — без всякой экспоненты.⁶

Честная граница. Кэли — не вся экспонента: она пропускает повороты на $\pi$ (антиподальные точки, где $\text{norm}{v}^2\to \infty$), и аналитическая $\exp$ над $R$ остаётся роль-пределом. Соответствие Ли «алгебра$\leftrightarrow$группа» в полной гладкой общности — континуум-цена, к которой часть вернётся в 12.6.

Экспонента $\exp :\text{g}\to G$ нужна $\cos /\sin$ — роль-предел; рациональная замена — Кэли: в 2D карта окружности, в 3D $R=(I-K)(I+K{)}^{-1}$ с кольцевым $N^{\mathsf{T}}N=(1+\text{norm}{v}^2{)}^{2}I$. Мост алгебра$\to$группа рационален; полная $\exp$ над $R$ — роль-предел.

E/R/R-разбор

Соберём структуру главы в порождающем порядке.

Слой	Содержание
Rules (L5)	скобка $[a,b]=a\times b$ и структурные константы $[e_i,e_j]={\epsilon }_{ijk}{e}_k$; аксиомы алгебры Ли (антисимметрия, билинейность, Якоби); преобразование Кэли $R=(I-K)(I+K{)}^{-1}$ как правило перехода алгебра$\to$группа
Roles (L4)	алгебра Ли$=$роль-инфинитезималь (касательное правило в единице); скобка$=$правило инфинитезимальной симметрии; \exp$${}={}роль-предел (мост в группу); Кэли$=$её рациональная замена; \so(3)\cong\su(2)$${}={}общая роль группы и накрытия
Elements (L1$+$P4)	конечные данные над $Q$: векторы $(x,y,z)\in Q^3$, целые структурные константы ${\epsilon }_{ijk}$, рациональный числитель Кэли $N$; аналитическая $\exp$ и гладкое соответствие Ли над $R$ — не Элементы

Корректность. Алгебра корректна по аксиомам: антисимметрия $[a,b]=-[b,a]$ и тождество Якоби (заменяющее ассоциативность). Переход корректен: $N^{\mathsf{T}}N=(1+\text{norm}{v}^2{)}^{2}I$ и $\det N=(1+\text{norm}{v}^2{)}^3$ дают после нормировки $R\in \text{SO}(3,Q)$.

Что даёт. $\text{so}(3)\cong \text{su}(2)$ над $Q$ — полная алгебра Ли (структурные константы, Якоби), 0 аксиом, единственная в библиотеке. Отображение Кэли — рациональный мост алгебра$\to$группа в 2D и 3D, 0 аксиом.

Диагностика. Корневая ошибка — овеществление алгебры Ли как предельного объекта анализа (касательное пространство гладкого многообразия). ToS возвращает ей категорию: скобка — конечное инфинитезимальное правило; экспонента — роль-предел.

Честные границы. Аналитическая $\exp$ (ряд, $\cos /\sin$), повороты на $\pi$ для Кэли, гладкое соответствие Ли «алгебра$\leftrightarrow$группа» над $R$ — роль-пределы (континуум-цена Части X). Полная карта — в 12.6.

Алгебра Ли — инфинитезимальное правило (скобка над $Q$, Якоби); $\text{so}(3)\cong \text{su}(2)$ конкретна; мост в группу — рациональное Кэли. Аналитическая экспонента и гладкое соответствие — роль-пределы.

Итог и переход

Глава дала инфинитезимальную сторону симметрии. Алгебра Ли $\text{so}(3)\cong \text{su}(2)$ построена над $Q$ прямо, как конечное правило: $Q^3$ со скобкой-векторным-произведением, структурные константы $[e_i,e_j]={\epsilon }_{ijk}{e}_k$, антисимметрия, билинейность и тождество Якоби — полная алгебра Ли без предела и без аксиом. Двойное накрытие $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$ из 12.3 здесь оказалось инфинитезимально невидимым: у группы и её накрытия одна алгебра. А мост из алгебры в группу — классически экспонента, требующая $\cos /\sin$ (роль-предел), — ToS провёл рационально, отображением Кэли: в 2D — картой окружности, в 3D — $R=(I-K)(I+K{)}^{-1}$ с кольцевым тождеством $N^{\mathsf{T}}N=(1+\text{norm}{v}^2{)}^{2}I$.

Дальше Часть XII переходит от симметрии к движению по геометрии. Глава 12.5 строит геодезические дискретно — как кратчайший рациональный путь и как роль-экстремаль, — и показывает дискретную кривизну как гравитацию (Редже), смыкая геометрию части с физикой.

Инфинитезимальная симметрия есть конечное правило: скобка $\text{so}(3)\cong \text{su}(2)$ над $Q$ с тождеством Якоби, а мост в группу — рациональное отображение Кэли, не аналитическая экспонента. Накрытие глав 12.3 инфинитезимально невидимо; гладкое соответствие Ли — роль-предел.

---

---

Часть: Часть XII. Геометрия, многообразия, группы Ли · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 3. Группы вращений над Q: SO(2), кватернионы, SU(2) · Глава 5. Геодезические и гравитация дискретно →

Footnotes

1. LieAlgebraSO3.v (0 аксиом): Record V3 ($Q^3$), bracket (векторное произведение), генераторы e1,e2,e3. ↩

2. LieAlgebraSO3.v: bracket_e1_e2, bracket_e2_e3, bracket_e3_e1 — структурные константы ${\epsilon }_{ijk}$. ↩

3. LieAlgebraSO3.v: bracket_antisym, bracket_self_zero, bracket_add_l/bracket_scale_l (и правые версии), jacobi (тождество Якоби) и so3_nonabelian. В геометрическом слое ToS это базовая алгебра Ли со скобкой и Якоби. ↩

4. LieAlgebraSO3.v: базисные скобки bracket_e1_e2 и т.д. суть структурные константы, общие для $\text{so}(3)$ и $\text{su}(2)$ (определение structure_constant_123). Формализована рациональная $\text{so}(3)$-модель ($Q^3$ со скобкой); совпадение со $\text{su}(2)$ — математическое чтение тех же структурных констант, не отдельная формализация матриц Паули над $C$. ↩

5. CayleySO3.v (0 аксиом): cay_num (числитель Кэли), cay_orthogonal_scaled ($N^{\mathsf{T}}N=(1+\text{norm}{v}^2{)}^{2}I$ — кольцевое тождество), cay_det_scaled, cay_identity ($v=0\mapsto I$) и конкретный rot90x. Двумерная карта — cayley_on_circle (RationalRotationGroup.v). ↩

6. Тот же рациональный Кэли-мост на $\text{SO}(2,Q)$ повторяется кросс-связками за пределами геометрии: foundation/CayleyGeometrySpectralBridge.v (6 Qed, 0 аксиом) — кэлиева спектральная точка лежит на $\text{SO}(2,Q)$ и там композируется (spectral_composes_in_SO2Q, mass_4_is_rotation); CayleyFourierMassBridge.v (9 Qed) связывает Кэли $\leftrightarrow$ Фурье $\leftrightarrow$ решёточную массу (cayley_fourier_is_mass, lattice_masses_pythagorean); ThreeFifthsUnification.v (5 Qed) сводит значение $3/5$ в прочтениях Борна/Шрёдингера/Кэли (three_fifths_unification). Все — 0 аксиом, машинно проверено; кросс-мосты-наблюдения (часть тяготеет к физическому тому), не новые теоремы. ↩