Глава 3. Группы вращений над Q: SO(2), кватернионы, SU(2)

Где стоит глава

Глава 12.2 переосмыслила меру и форму: кривизна стала дефектом, многообразие — процессом. Теперь Часть XII спускается к симметрии — к группам, которые сохраняют геометрию. Классика берёт за первичные объекты непрерывные группы Ли — $\text{SO}(2)$, $\text{SO}(3)$, $\text{SU}(2)$ — как гладкие многообразия с координатами $\cos \theta ,\sin \theta$. ToS делает тот же ход, что в Частях X, XI и в главах 12.1–12.2:

• «вращение» есть роль-симметрия, а её носитель — рациональная точка: $\text{SO}(2,Q)$ — рациональные точки окружности; кватернионы — рациональные четвёрки; $\text{SU}(2)$ — запись с аксиомами;
• «группа вращений» конституируется правилом нормы: $c^2+s^2=1$, $\text{norm}{q}^2=1$, и мультипликативностью этой нормы (тождества двух и четырёх квадратов), которая и делает композицию замкнутой;
• «двойное накрытие» $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$ — конкретное $2:1$ роль-отображение: единичный кватернион и противоположный задают одно вращение;
• «допустимый порядок симметрии» есть роль-ограничение: решётку сохраняют лишь вращения порядков $1,2,3,4,6$ — ось $5$ запрещена (кристаллографическое ограничение);
• непрерывная группа Ли над $R$ (с $\cos /\sin$, аналитической экспонентой) — роль-предел (континуум-цена Части X), карту которой даёт 12.6.

Центральный тезис главы. В рамках P4-онтологии ToS группа вращений — это не гладкое тело, а рациональная структура симметрий: рациональные точки, замкнутые мультипликативной нормой, конкретное двойное накрытие и конечные подгруппы с честным ограничением на порядок. Непрерывная группа Ли — гладкий роль-предел этой структуры.

Вращение — роль-симметрия с рациональным носителем; группа — замкнутость по мультипликативной норме; накрытие — конкретное $2:1$ отображение; допустимый порядок — роль-ограничение. Гладкая группа Ли — роль-предел.

Вращение как рациональная точка: группа $\text{SO}(2,Q)${SO(2,Q)}

Поворот плоскости задаётся парой $(c,s)$ с $c^2+s^2=1$ — косинусом и синусом угла. ToS берёт рациональные такие пары: $\text{SO}(2,Q)$ — рациональные точки единичной окружности (глава 12.1 уже перечислила их пифагоровым деревом). Композиция поворотов — это правило на парах

$$(c_1,s_1)\cdot (c_2,s_2)=(c_1{c}_2-s_1{s}_2,c_1{s}_2+s_1{c}_2),$$

и она замкнута: произведение двух рациональных точек окружности снова на окружности. Причина — мультипликативность нормы, тождество двух квадратов (Брахмагупта–Фибоначчи)

$$(c_1^2+s_1^2)(c_2^2+s_2^2)=(c_1{c}_2-s_1{s}_2{)}^2+(c_1{s}_2+s_1{c}_2{)}^2.$$

Единица — $(1,0)$, обратный к $(c,s)$ — сопряжённый $(c,-s)$. Так рациональные повороты имеют групповые операции — замкнутость, единицу и обратный — без обращения к $R$ (полный Record Group для $\text{SO}(2,Q)$ собирается как отдельный каркас).¹

У этой структуры есть тонкость, важная для ToS. Её точки лежат на окружности плотно (математическое чтение), но «красивые» углы рациональными точками не являются: ни $60^{\circ }$ (нужен $\frac{\sqrt{3}}{2}$), ни $45^{\circ }$ (нужен $\frac{\sqrt{2}}{2}$). Поворот на $60^{\circ }$ не есть рациональная точка — ровно та же $\sqrt{3}$-преграда, что в 12.1 не пускала равносторонний треугольник на решётку.² Рациональные точки несут симметрию не там, где её ждёт классика, — и это уже предвещает ограничение на конечные порядки (§12.3.4).

$\text{SO}(2,Q)$ — группа рациональных точек окружности (замкнутость по мультипликативной норме, обратный$=$сопряжённый). Плотная, но $60^{\circ }/45^{\circ }$ — не её точки ($\sqrt{3},\sqrt{2}$): та же преграда, что в 12.1.

Кватернионы и двойное накрытие $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)${SU(2)->SO(3)}

В трёх измерениях вращения кодируются кватернионами — четвёрками $q=(w,x,y,z)\in Q^4$ с произведением Гамильтона. ToS держит их над $Q$: это конечные данные, а не точки гладкой группы. Норма $\text{norm}{q}^2=w^2+x^2+y^2+z^2$ мультипликативна — это тождество четырёх квадратов Эйлера, прямой аналог двух квадратов из §12.3.2:

$$\text{norm}{q_1}^2\text{norm}{q_2}^2=\text{norm}{q_1{q}_2}^2.$$

Поэтому единичные кватернионы ($\text{norm}{q}^2=1$) замкнуты относительно умножения — они образуют $\text{SU}(2)\cong \text{Spin}(3)$, оформленную в ToS как запись с доказанными аксиомами группы.³

Как единичный кватернион вращает? Сопряжением. Чистый кватернион $v=(0,a,b,c)$ — это вектор из $Q^3$, и отображение $v\mapsto qv\bar{q}$ переводит вектор в вектор той же длины: мультипликативность нормы даёт $\text{norm}{qv\bar{q}}^2=\text{norm}{q}^4\text{norm}{v}^2=\text{norm}{v}^2$ при $\text{norm}{q}^2=1$. Это и есть вращение — Element-доказательство, без матриц и без $\cos /\sin$.⁴

И вот ключевое: $q$ и $-q$ задают одно и то же вращение, ведь $(-q)v\overline{(-q)}=qv\bar{q}$. Это двойное накрытие $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$ — ровно $2:1$.⁵ Конкретный свидетель — единичный кватернион $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$: его куб равен $-1$, а сопряжение им есть поворот на $120^{\circ }$ вокруг оси $(1,1,1)$ — элемент порядка 3 группы $\text{SO}(3,Q)$. На матричной стороне это циклическая перестановочная матрица: ортогональная, с определителем $1$ и кубом $=I$.⁶

Кватернионы над $Q$: норма мультипликативна (четыре квадрата), единичные образуют $\text{SU}(2)$; сопряжение $qv\bar{q}$ вращает (изометрия); $q$ и $-q$ дают одно вращение — двойное накрытие $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$. $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ — поворот порядка 3.

Конечные симметрии и кристаллографическое ограничение

Группа $\text{SO}(2,Q)$ плотна, но почти все её элементы — бесконечного порядка: поворот $3$-$4$-$5$ никогда не возвращается в начало (его угол несоизмерим с $\pi$).⁷ Спрашивается: какие конечные порядки вообще возможны для вращения, сохраняющего решётку? Ответ — знаменитое кристаллографическое ограничение: только $1,2,3,4,6$. Общий следовой (Нивеновский) механизм исключает все прочие порядки; запрет оси $5$ выделен отдельно как «золотая» обструкция.

Доказательство держится на следе. Вращение, сохраняющее решётку, в целочисленном базисе имеет целый след; а в двумерном случае след поворота на угол $\theta$ равен $2\cos \theta$. Значит $2\cos \theta \in Z\cap [-2,2]=\{-2,-1,0,1,2\}$, откуда $\theta \in \{180^{\circ },120^{\circ },90^{\circ },60^{\circ },0^{\circ }\}$ — порядки $2,3,4,6,1$. Для оси $5$ нужен след $2\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ — корень уравнения $x^2+x-1=0$, у которого нет рационального решения. Поэтому пятая ось несовместима с решёткой.⁸

Здесь нет противоречия с §12.3.2: в $\text{SO}(2,Q)$ рациональны обе координаты $(\cos \theta ,\sin \theta )$, тогда как решётку сохраняет матрица с рациональным следом $1+2\cos \theta$ — иррациональный синус поглощается выбором оси. Потому поворот порядка 3 живёт в $\text{SO}(3,Q)$ (матрица cyc рациональна) даже при иррациональном $\sin 120^{\circ }$.

Это та же $\sqrt{5}$, что в 12.1 запрещала правильный пятиугольник на $Z^2$. Запрет пятой оси, отсутствие рационального пятиугольника и иррациональность золотого сечения — три лица одного факта: $x^2+x-1=0$ не имеет рационального корня (в Части XI это неприводимый квадратичный ярус). Геометрия симметрии, решёточная геометрия и алгебраический ярус смыкаются в одной точке.

Решётку сохраняют лишь вращения порядков $1,2,3,4,6$: целый след $=2\cos \theta \in \{-2,\dots ,2\}$; ось $5$ требует $2\cos 72^{\circ }$ — корень $x^2+x-1$ без рационального решения. Та же $\sqrt{5}$, что запрещает пятиугольник (12.1).

E/R/R-разбор

Соберём структуру главы в порождающем порядке.

Слой	Содержание
Rules (L5)	норма $c^2+s^2=1$, $\text{norm}{q}^2=1$ и её мультипликативность (тождества двух/четырёх квадратов); групповые аксиомы (Record Quaternion); правило сопряжения $v\mapsto qv\bar{q}$; следовое правило $2\cos \theta \in Z$ (кристаллографическое ограничение)
Roles (L4)	вращение$=$роль-симметрия; группа вращений$=$роль-симметрия ($\text{SO}(2,Q)$, $\text{SU}(2)$, кватернионы); двойное накрытие$=$роль-отображение $2:1$; допустимый порядок$=$роль-ограничение ($1,2,3,4,6$)
Elements (L1$+$P4)	конечные данные над $Q$: рациональные точки $(c,s)$, кватернионы $(w,x,y,z)$, матрицы $\text{SO}(3,Q)$, элементы и порядки конечных групп; непрерывные $\text{SO}(2)/\text{SO}(3)/\text{SU}(2)$ над $R$ — не Элементы

Корректность. Группа корректна по аксиомам (замкнутость через мультипликативность нормы, единица, обратный-сопряжённый; Record Quaternion с ассоциативностью). Накрытие корректно как $2:1$ отображение. Ограничение порядка корректно: целый след допускает лишь $\{-2,\dots ,2\}$.

Что даёт. $\text{SO}(2,Q)$ — группа рациональных точек; $\text{SU}(2)$/кватернионы — запись и двойное накрытие $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$ (0 аксиом в геометрическом слое); кристаллографическое ограничение — порядки $1,2,3,4,6$, запрет оси $5$ ($\sqrt{5}$).

Диагностика. Корневая ошибка — овеществление группы вращений как гладкого континуального тела. ToS возвращает ей категорию: группа — рациональная структура симметрий (точки$+$правило нормы), а гладкая группа Ли — роль-предел.

Честные границы. Непрерывные $\text{SO}(2)/\text{SO}(3)/\text{SU}(2)$ как гладкие многообразия, повороты на произвольный угол ($\cos \theta ,\sin \theta$ иррациональны), аналитическая экспонента — роль-пределы (континуум-цена Части X). Полная карта — в 12.6.

Группа вращений — роль-симметрия с рациональным носителем, замкнутая мультипликативной нормой; накрытие $2:1$ и порядки $1,2,3,4,6$ — конкретны. Гладкая группа Ли — роль-предел.

Итог и переход

Глава предъявила симметрию геометрии как рациональную структуру. Повороты плоскости — группа $\text{SO}(2,Q)$ рациональных точек окружности, замкнутая мультипликативностью нормы (два квадрата); повороты пространства — кватернионы над $Q$ с нормой четырёх квадратов, единичные из которых образуют $\text{SU}(2)$ и накрывают $\text{SO}(3)$ вдвое ($q$ и $-q$ — одно вращение). Конечные симметрии решётки ограничены порядками $1,2,3,4,6$: пятая ось запрещена той же $\sqrt{5}$, что в 12.1 не пускала правильный пятиугольник, — одно препятствие, увиденное в решётке, в симметрии и в алгебраическом ярусе.

Дальше — инфинитезимальная сторона симметрии. Глава 12.4 строит алгебру Ли $so(3)\cong su(2)$ над $Q$ — касательную структуру группы вращений в единице, со скобкой $[e_i,e_j]={\epsilon }_{ijk}{e}_k$ и тождеством Якоби; а экспоненту $\exp :\mathfrak{g}\to G$, которой нужны $\cos /\sin$, заменит рациональное отображение Кэли. Двойное накрытие этой главы получит там свою инфинитезимальную тень: $so(3)$ и $su(2)$ — одна и та же рациональная алгебра.

Группа вращений над $Q$ — рациональные точки, замкнутые мультипликативной нормой, с конкретным двойным накрытием $\text{SU}(2)\to \text{SO}(3)$ и кристаллографическим ограничением $1,2,3,4,6$. Гладкая группа Ли — роль-предел; её инфинитезимальная тень — алгебра Ли главы 12.4.

---

---

Часть: Часть XII. Геометрия, многообразия, группы Ли · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 2. Кривизна как угловой дефект; многообразие как процесс · Глава 4. Алгебра Ли и инфинитезимальная структура →

Footnotes

1. RationalRotationGroup.v: rotation_compose_closed (замкнутость через два квадрата), rotation_identity, rotation_inverse; карта Кэли $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ даёт явное рациональное семейство (cayley_on_circle — машинно проверена целочисленная подсемья $t\in Z$; полная $t\in Q$ — математическое чтение). ↩

2. RationalRotationGroup.v: no_rational_60 ($\nexists y\in Q:(\frac{1}{2}{)}^2+y^2=1$). CircleRotation.v: sqrt2_rotation_role_limit ($45^{\circ }$ нерационален); зато rotation_third/rotation_quarter — повороты на $1/3$ и $1/4$ оборота возвращаются за конечное число шагов. ↩

3. Скалярное тождество — euler_four_square (RationalQuaternions.v). Группа как запись — SU2Group.v: Record Quaternion, qmul_assoc, qconj_involutive, is_unit, qnorm_mul (норма мультипликативна) и unit_closed (единичные замкнуты относительно умножения). ↩

4. QuaternionRotation.v (0 аксиом): rotation_scales_norm ($\text{norm}{qv\bar{q}}^2=\text{norm}{q}^2(\text{norm}{q}^2\text{norm}{v}^2)$) и rotation_preserves_norm (изометрия при $\text{norm}{q}^2=1$); conjugate_action_pure (образ чистого кватерниона чист). Мнимые единицы: qi_squared ($i^2=-1$), qij ($ij=k$) и т.д. ↩

5. QuaternionRotation.v: double_cover ($\mathrm{Heq}((-q)v\overline{(-q)})(qv\bar{q})$). Это geometric-side той же $2:1$-особенности, с которой в физике связан спинорный знак: оборот на $2\pi$ меняет знак кватерниона, оборот на $4\pi$ — возвращает его. ↩

6. QuaternionRotation.v: qhalf_cube ($q^3=-1$), rotation_order3. Матричная сторона — RationalSO3.v (0 аксиom): cyc (перестановочная матрица), cyc_orthogonal, cyc_det$=1$, cyc_order3 (${\mathrm{cyc}}^3=I$); семейство rot_z вкладывает $\text{SO}(2,Q)\subset \text{SO}(3,Q)$. ↩

7. NivenRationalCosine.v: infinite_order_345, orbit_never_returns — орбита $(3,4,5)$ не возвращается в $(1,0)$ (через mod-$5$ инвариант). ↩

8. CrystallographicRestriction.v: следовая рекурсия tau_rec, order5_forces_golden, no_rational_golden ($\nexists x\in Q:x^2+x-1=0$), no_rational_order5 и realizable_orders ($1,2,3,4,6$ реализуемы). См. также NivenGeneral.v: $\cos (r\pi )\in Q\Rightarrow \cos \in \{0,\pm \frac{1}{2},\pm 1\}$. ↩