Глава 2. Тень, производная, интеграл: исчисление как одна операция st

Где стоит глава

В предыдущей главе бесконечно малое стало процессом $\delta =1/(n+1)$. Теперь — противоположная операция: тень, стандартная часть $\text{st}$, возвращающая от процесса к стандартному значению. На ней держится всё дифференциальное и интегральное исчисление.

Флагман главы: производная и интеграл — ОДНА операция, тень бесконечно малого выражения. $f^{\prime }(x)=\text{st}((f(x+\delta )-f(x))/\delta )$, ${\int }_0^{1}f=\text{st}({\sum }_{k}f(k\delta )\delta )$. Приращение $\delta$ ненулево на каждом шаге — деление и суммирование законны; «$o=0$» — не подстановка нуля, а взятие тени в конце. Так машинно растворяется парадокс Беркли о «призраке исчезнувших величин».

{ Тень — частичная функция: тотальна и однозначна на сходящихся процессах (Element-сторона), но на ограниченно-расходящихся не определена (role-limit — нужен выбор подпоследовательности). С неё и начнём.}

Тень: стандартная часть как частичная функция

Стандартная часть $\text{st}(x)$ — то стандартное значение, к которому процесс $x$ бесконечно близок. Там, где она есть, она единственна: два предела одного сходящегося процесса совпадают — это L5-детерминизм тени (математически — обычная единственность предела)¹. Это Element-сторона.

{ Но тень частична. Канонический свидетель — осциллятор $\mathrm{alt}(n)=(-1{)}^n$: $1,-1,1,-1,\dots$ Он ограничен, но не Коши и не имеет тени². Чтобы приписать ему тень, надо ВЫБРАТЬ, какая подпоследовательность есть предел: «чётные велики» — тень $+1$; «нечётные велики» — тень $-1$. Два несовместимых значения³ — канона нет: тень доопределяется лишь внешним выбором хвоста (чётной или нечётной подпоследовательности), а ультрафильтр — глобальная версия такого выбора (role-limit, Глава 4).}

И тут — машинный мост к Главе 1: $\mathrm{alt}=E-O$, разность тех же индикаторов чётных и нечётных, чьё ПРОИЗВЕДЕНИЕ было делителем нуля⁴. Один неразрешённый раскол Evens/Odds проявляется дважды: аддитивно — осциллятор без тени, мультипликативно — делитель нуля. Та же граница, две алгебраические формы.

Производная через бесконечно малое: Беркли растворён

Производная — тень разностного отношения. Возьмём $f(x)=x^2$. Приращение $\delta$ ненулево на каждом шаге, поэтому деление законно (никакого $0/0$), и поточечно

$$\frac{f(x+\delta )-f(x)}{\delta }=2x+\delta$$

точно — тождество field-алгебры на Element-стороне⁵. Остаток — ровно $\delta$; тень его убирает, и $f^{\prime }(x)=2x$ точно⁶.

Здесь и растворён парадокс Беркли. Классическая претензия к флюксиям: «делят на $o$ как на ненулевое, ПОТОМ полагают $o=0$ — призрак исчезнувших величин (берклиевский ghost of departed quantities)». Противоречия нет: $\delta$ — процесс, на каждом шаге ${\delta }_n>0$ (делим законно) и нигде не «становится» нулём; «$o=0$» — это отдельная операция, взятие тени (предел процесса). Призрак — это ${\delta }_n$: ненулевое на шаге, исчезающее лишь в тени.

Тот же приём доводит и куб: из тождества $(f(x+\delta )-f(x))/\delta =3x^2+3x\delta +{\delta }^2$ остаток $3x\delta +{\delta }^2$ ограничен $(3|x|+1)\delta$ и исчезает в тени, так что $f^{\prime }(x^3)=3x^2$ точно⁷. И граница финитизации: пределы $2x$ и $3x^2$ рациональны при рациональном $x$, процессы $2x+{\delta }_n$ и $3x^2+3x{\delta }_n+{\delta }_n^2$ сходятся ВНУТРЬ Element-стороны — на проверенных степенях ($1,x,x^2,x^3$) граница не переходит. Общая полиномиальная теорема — следующий шаг; для неполиномиальных функций возникают дополнительные предельные оценки (общий $x^n$ и трансцендентные $f$ — горизонт).

Интеграл — тень гиперконечной суммы

Интеграл — та же операция тени, только над суммой. Левая риманова сумма для $f(x)=x$ с $n$ подынтервалами (шаг $1/n$ — та же бесконечно малая сетка $\delta$, что приращение производной; точки $k/n$) есть ${\sum }_{k<n}(k/n)(1/n)$. Это процесс конечных сумм (гиперконечный в процессном чтении), а не подставленная формула; его закрытая форма выражается через сумму Гаусса ${\sum }_{k<n}k=n(n-1)/2$, доказанную над $N$⁸. В явном виде сумма равна $\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$ (сама конечная сумма), а её тень (предел процесса) равна ${\int }_0^{1}x=\frac{1}{2}$ точно⁹: сетка $\delta$ нигде не нуль (суммировали законно), $\frac{1}{2}$ достигается лишь в тени, остаток $\frac{1}{2n}$ исчезает.

Вот сердце нестандартного анализа: $\int =\text{st}(\sum f(k\delta )\delta )$ и $f^{\prime }=\text{st}(\Delta f/\delta )$ — ОБЕ половины исчисления суть одна операция $\text{st}$ над процессами с бесконечно малой $\delta$. И снова Element: пределы $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ рациональны — интегрирование проверенных степеней границы не переходит.

Тем же приёмом машинно закрыт и ${\int }_0^1{x}^2=\frac{1}{3}$ (через $6\sum k^2=n(n-1)(2n-1)$: сумма $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}$, тень $=\frac{1}{3}$)¹⁰. Общий ${\int }_0^1{x}^n=\frac{1}{n+1}$ (суммы Фаульхабера/Бернулли) и интеграл произвольной гладкой функции остаются горизонтом — арена римановой теории интеграла.

E/R/R-разбор: исчисление как тень

Разберём по E/R/R в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements.

Rules (L5). Удерживающее правило — тень $\text{st}$: однозначна, где есть (L5-детерминизм); $\delta \ne 0$ на каждом шаге делает деление и суммирование законными; разностное отношение и риманова сумма — точные тождества (производная плюс остаток$\cdot \delta$; закрытая форма через сумму Гаусса), а тень убирает остаток. Одна операция $\text{st}$ порождает обе половины анализа.

Roles (L4). $\delta$ — роль приращения и сетки (бесконечно малое, ненулевое); разностное отношение — роль наклона секущей; риманова сумма — роль приближения площади; $\text{st}$ — роль тени; производная и интеграл — касательная и площадь как тени.

Elements (L1 + P4). Носители — процессы $N\to Q$: ${\delta }_n=1/(n+1)$, разностные отношения $2x+{\delta }_n$, частичные суммы $\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$. Они конечно-актуальны на каждой стадии; тень — не член процесса, а его предел.

{ Проверка сформированности. Правило — тень и точные тождества; роли — приращение, наклон, площадь, тень; элементы — рациональные процессы; пересечений нет. Осциллятор $\mathrm{alt}$ — элемент как система: значения $\pm 1$ чередуются, роль — осциллятор, а значение тени не определено внутренне $\Rightarrow$ система неполна $\Rightarrow$ нужен внешний выбор (role-limit).}

Что даёт разбор. Он сводит исчисление к одной операции тени над бесконечно малым и называет, где оно остаётся на Element-стороне (полином: пределы $2x$ и $\frac{1}{2}$ рациональны) и где начинается role-limit (тень ограниченно-расходящегося — выбор подпоследовательности). И он связывает аддитивную форму зазора (осциллятор без тени) с мультипликативной (делитель нуля Главы 1): один раскол Evens/Odds.

Из этого раскола следующая глава извлекает общий корень: одно неразрешённое различение порождает три алгебраические формы — делитель нуля, осциллятор без тени и необратимость. Кольцо ростков — не поле, и у этого ровно одна причина.

---

---

Часть: Часть XIX. Нестандартный анализ над процессами · Том: «Математика»

Понятия: Парадокс

Навигация: ← Глава 1. Бесконечно малое как процесс · Глава 3. Кольцо, а не поле: один зазор — три формы →

Footnotes

1. shadow_unique: из converges $x{L}_1$ и converges $x{L}_2$ следует $L_1=L_2$; сходимость взята двусторонне ($-\epsilon <x_n-L<\epsilon$), чисто линейно. Константы сходятся к себе и имеют тень (const_has_shadow). В StandardPart. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

2. alt_bounded, alt_not_cauchy, no_shadow_for_alt: $\mathrm{alt}$ ограничен ($|\cdot |\le 1$), но соседние члены отличаются на $2$, и предполагаемая тень $L$ обязана лежать сразу около $+1$ и около $-1$ — противоречие. В StandardPart. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

3. alt_shadow_mod_evens (тень $=1$) и alt_shadow_mod_odds (тень $=-1$). В StandardPart. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

4. alt_decomp: ${\mathrm{alt}}_n=E_n-O_n$. В StandardPart. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

5. dq_sq: $\mathrm{diffquot}{f}_{\mathrm{sq}}xn=2x+{\delta }_n$, при ${\delta }_n\ne 0$ (delta_nonzero). В DerivativeViaInfinitesimal. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

6. deriv_sq (флагман): converges$(\mathrm{diffquot}{f}_{\mathrm{sq}}x)(2x)$; плюс $f^{\prime }(x)=1$ (deriv_id) и $f^{\prime }(c)=0$ (deriv_const). Свод derivative_summary. Машинно проверено, 15 Qed, 0 аксиом. ↩

7. dq_cube (точное тождество) и deriv_cube: $f^{\prime }(x^3)=3x^2$ через тень, остаток оценён через $Q_{\mathrm{abs}}$. В DerivativeViaInfinitesimal. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

8. rsumlin_closed (почленная сумма в закрытой форме, не подставленная формула) и sumk_closed_Q ($2\sum k=n(n-1)$). В HyperfiniteSum. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

9. integral_x_closed ($=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}$) и integral_x_converges (${\int }_0^{1}x=\frac{1}{2}$). Свод hyperfinite_sum_summary. Машинно проверено, 16 Qed, 0 аксиом. ↩

10. rsumquad_closed, sumk2_closed_Q, integral_xsq_converges (в HyperfiniteSum). Машинно проверено, 0 аксиом. ↩