Глава 4. Случайные процессы и марковские цепи

Где стоит глава

Распределение (Глава 3) начинает двигаться. Марковская цепь — простейший движущийся процесс: распределение обновляется применением стохастической матрицы, и память не нужна — следующий шаг зависит только от текущего состояния. Над ℚ на конечном пространстве это снова Element: матрица конечна, умножение точно, композиция шагов разрешима.

Вершина главы: модельный второй закон из L5 — в классе дважды-стохастических (перемешивающих) шагов энтропия растёт одной только структурой порядка, без отдельной Past Hypothesis внутри модели.

Глава ведёт от марковского шага и тождества Чепмена–Колмогорова через дважды-стохастичность и мажоризацию к этой вершине, и закрывается конкретными случайными блужданиями.

Марковская цепь и Чепмен–Колмогоров

Марковская цепь — стохастическая матрица над ℚ: строки суммируются в единицу, переход беспамятен. Композиция шагов подчиняется тождеству Чепмена–Колмогорова: матрица за $m+n$ шагов есть произведение матриц за $m$ и за $n$ шагов¹. Это правило — ассоциативность движения: процесс можно дробить и собирать, и результат тот же.

Красивый частный случай: матрица с золотым отношением порождает сложение чисел Фибоначчи через композицию переходов — комбинаторика Главы 1 и движение здесь встречаются². Всё это — точная ℚ-арифметика на матрицах $2\times 2$: Element.

Дважды-стохастичность и мажоризация

Особый класс — дважды-стохастические матрицы (в единицу суммируются и строки, и столбцы). Запишем распределение строкой $p$, а шаг — как $p\mapsto pT$. Тогда исходное распределение мажорирует перемешанное, $p\succ pT$: шаг сглаживает, а равномерное распределение есть минимальный элемент по мажоризации (его мажорируют все)³. Мажоризация — это структурный порядок на распределениях (L5): «насколько распределение сглажено». Дважды-стохастический шаг никогда не делает распределение более «острым».

Второй закон из L5{L5} без Past Hypothesis

Отсюда — вершина главы и одна из машинных вершин всего тома.

{ На представительных распределениях выбранная рациональная мера перемешанности $S_2$ (квадратичная, Падэ-форма; собственно энтропия Шеннона — в Главе 5) не убывает под дважды-стохастическим перемешиванием: $S_2(p)\le S_2(Tp)$ — и это проверено без всякого Past Hypothesis, без постулата об особом низкоэнтропийном начале⁴.}

В классе дважды-стохастических (перемешивающих) шагов стрела времени берётся из структуры порядка (мажоризация, L5), а не из особого начального условия: модельный второй закон — следствие правила перемешивания, а не постулата о прошлом.

Это сильное ToS-утверждение — и его важно честно очертить. В привычной формулировке рост энтропии требует «гипотезы о прошлом» (вселенная началась в особо низкоэнтропийном состоянии). Здесь рост следует из одной только структуры: дважды-стохастический шаг сглаживает ($p\succ pT$), а $S_2$ Шур-вогнута — значит на проверенных случаях растёт к равновесию-максимуму. Важная оговорка: это не полная физическая замена Past Hypothesis (макроскопическая стрела времени и низкоэнтропийное начало Вселенной — отдельный вопрос), а модельный второй закон для класса перемешивающих / coarse-graining динамик; в его рамках направление времени оказывается ролью структуры, а не данностью. Полная общность (все распределения) опирается на классическую Шур-вогнутость.

Случайные блуждания

Конкретные процессы — случайные блуждания. Блуждание по конечной дискретной линии (отрезку) и по окружности формализованы как марковские цепи на конечном носителе; в конкретной дискретной геометрии блуждание связано с аппроксимациями $\pi$⁵. На каждой конечной стадии блуждание есть Element; его предельное (стационарное) распределение и время перемешивания в общей форме — сторона предела-роли, к которой процесс лишь приближается.

E/R/R-разбор: марковский процесс как система

Разберём по E/R/R в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements.

Rules (L5). Удерживающие правила — марковость (беспамятный переход стохастической матрицей) и композиция Чепмена–Колмогорова; над ними — структурный порядок мажоризации, из которого следует монотонность энтропии. Именно L5-порядок порождает стрелу времени.

Roles (L4). Цепь, текущее распределение и его энтропия — уровни-роли одного движущегося объекта (M2). Дважды-стохастичность — роль «перемешивающего» шага; равномерное равновесие — роль аттрактора-максимума энтропии.

Elements (L1 + P4). Носители — конечные стохастические матрицы над ℚ и конечные распределения. Под P4 актуальны конечные шаги; стационарное распределение и предел перемешивания в общности — предел-роль, не завершённый объект.

{ Проверка сформированности. Марковость, Чепмен–Колмогоров, мажоризация — Rules; цепь/распределение/энтропия/равновесие — Roles; конечные ℚ-матрицы — Elements; пересечений нет. Самоприменения нет: правило перехода стоит над состояниями.}

Что даёт разбор. Он показывает, что движение распределения — Element на каждом шаге, а его необратимость (рост энтропии) есть следствие L5-порядка, не особого начала; и что единственная граница — предел перемешивания (стационарность), сторона предела-роли. Стрела времени здесь — структурная роль, а не постулат.

Движение и его необратимость построены; в следующей главе мера необратимости получает имя и форму — мы переходим к энтропии Шеннона как количественной мере актов различения.

---

---

Часть: Часть XVII. Дискретная математика, вероятность, информация · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 3. Вероятность как операциональная теория · Глава 5. Энтропия Шеннона →

Footnotes

1. chapman_kolmogorov_synthesis (в ChapmanKolmogorov) с ck_sum — композиция переходов; проверено на конкретных матрицах. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

2. ck_golden_* и fibonacci_addition_*: переходы золотой матрицы реализуют тождества сложения Фибоначчи. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

3. Дважды-стохастичность и мажоризация по Шуру — кластеры foundations/DoublyStochastic и foundations/MajorizationSchur; проверено на представительных распределениях (apply_T на конкретных $p$): шаг приближает к равномерному ($pT$ менее остро, чем $p$). Общая мажоризация — классический факт Шура. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

4. no_past_hypothesis_1..3: $S_2(p)\le S_2(\mathtt{appl}{\mathtt{y}}_{\mathtt{T}}p)$ для двухсостоянного дважды-стох. шага apply_T на конкретных $p$ (напр. $3/4$, $9/10$); iterated_entropy_*: рост сохраняется при итерации; equilibrium_is_max_*: равновесие (равномерное) есть максимум $S_2$. Общая монотонность — классическая Шур-вогнутость энтропии. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩

5. Случайные блуждания по конечной линии и по окружности (RandomWalkLine/RandomWalkCycle) и связь с приближениями $\pi$ (PiRandomWalk); конечные марковские цепи, точная ℚ-арифметика. Машинно проверено, 0 аксиом. ↩