Глава 3. Произведение Эйлера и связь с простыми

Где стоит глава

Глава 13.1 дала простые как атомы, Глава 13.2 — дзету как процесс частичных сумм. Эта глава связывает их одним тождеством — произведением Эйлера:

$$\zeta (s)=\prod _{p\text{простое}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\prod _p\frac{p^s}{p^s-1}.$$

Это главная связь дзеты с простыми: слева — сумма по всем натуральным, справа — произведение по простым. И ключ к равенству — ровно тот факт, который мы машинно доказали в Главе 13.1: единственность разложения на простые. Здесь элементарная база окупается в аналитике.

Почему формула верна: единственность факторизации

Для каждого простого $p$ геометрический ряд даёт

$$\frac{1}{1-p^{-s}}=1+p^{-s}+p^{-2s}+p^{-3s}+\dots$$

Перемножим эти ряды по всем простым и раскроем скобки. Каждое слагаемое произведения — это выбор по одному члену $p^{-a_{p}s}$ из каждого множителя, то есть число

$$({\prod }_p{p}^{a_p}{)}^{-s}=n^{-s},n={\prod }_p{p}^{a_p}.$$

Чтобы при раскрытии каждое $n^{-s}$ возникло ровно один раз, нужно, чтобы каждое $n$ отвечало единственному набору показателей $(a_p)$. Это и есть основная теорема арифметики — существование и единственность разложения, которую мы доказали в Главе 13.1.¹

Так произведение Эйлера — не случайное тождество, а перекодировка одного и того же объекта:

$$\prod _p(1+p^{-s}+p^{-2s}+\dots )=\sum _{n\ge 1}{n}^{-s},$$

где левая сторона организована мультипликативно (по атомам), правая — аддитивно (по всем числам), а мост между ними — единственность факторизации. В терминологии части это правило перекодировки суммы в произведение.

Конструктивная сторона: частичные произведения

Бесконечное произведение — это, как и сумма в Главе 13.2, процесс: последовательность частичных произведений по простым до границы $N$. Для целого показателя $k\ge 2$ оно задаётся прямо над $Q$:

Definition euler_factor (p k : nat) : Q := (* p^k / (p^k - 1) *).
Definition euler_partial (k : nat) (primes_up_to_N : list nat) : Q :=
  Qprod (map (fun p => euler_factor p k) primes_up_to_N).

Каждый множитель $‘eule{r}_{f}actor‘pk=p^k/(p^k-1)$ — конкретное рациональное число, большее $1$; частичное произведение $‘eule{r}_{p}artial‘$ — произведение этих множителей по простым из решета. Машинно проверены положительность, оценки $>1$ и $\le 2$ для множителей, а также положительность и ненулевость каждого конечного частичного произведения; всё — над $Q$, для целых $k\ge 2$, без аксиом.²

Честная граница. Машинно проверена конструктивная сторона: частичные произведения над $Q$ при целом $k\ge 2$ и их свойства. Полное бесконечное тождество ${\prod }_{p}1/(1-p^{-s})=\zeta (s)$ для произвольного $s$ — классический аналитический результат; в репозитории формализован процесс частичных произведений и сравнение, а не завершённое трансцендентное равенство. Это тот же статусный разрез, что в Главе 13.2.

Нет нулей при $\Re s>1$

Важнейшее качественное следствие произведения Эйлера: в области сходимости дзета не обращается в нуль.

Идея. Каждый множитель $1/(1-p^{-s})\ne 0$ (так как $|p^{-s}|<1$). Произведение ненулевых множителей с быстро убывающими отклонениями от единицы остаётся ненулевым. Значит $\zeta (s)\ne 0$ при $\Re s>1$.

В репозитории формализована конечная сторона этого факта: каждое частичное эйлерово произведение (по простым из решета, при целом $k\ge 2$) положительно и не равно нулю.³ Предельное $\zeta (k)>0$ и комплексное неисчезновение — классические следствия; нам важно качественное итоговое чтение:

все «интересные» нули дзеты лежат в критической полосе $0<\Re s<1$.

Область $\Re s>1$ свободна от нулей (произведение Эйлера), область $\Re s<0$ — тривиальные нули (функциональное уравнение, Глава 13.4). Остаётся полоса, где и живёт Гипотеза Римана.

Связь с распределением простых

Произведение Эйлера — главное звено классического доказательства теоремы о распределении простых (PNT). Логарифмируя произведение, получают связь дзеты с простыми (логарифмическая производная, Глава 13.6); стратегия Адамара и Валле-Пуссена такова:

1. дзета не обращается в нуль на прямой $\Re s=1$ (главное техническое утверждение);
2. логарифмическая производная дзеты выражается через простые;
3. из (1) и (2) тауберовыми теоремами выводится PNT.

Честно: как и подчёркнуто в Главе 13.1, PNT в этом томе не доказывается. Шаги (1) и (2) имеют операциональные аналоги в src/zeta/ (свободная зона, логарифмическая производная — Главы 13.5 и 13.6); шаг (3) и полная асимптотика остаются классическим чтением. Произведение Эйлера здесь — концептуальный мост: оно показывает, почему аналитика дзеты вообще говорит о простых.

Параллель с динамической дзетой

Структура «произведение по простым объектам» не уникальна для арифметики. В динамических системах вводят динамическую дзету

$${\zeta }_{\mathrm{dyn}}(z)=\exp \left(\sum _{n\ge 1}\frac{N(n)}{n}{z}^n\right),$$

где $N(n)$ — число точек периода $n$; её особенности считают периодические орбиты так же, как дзета Римана через произведение Эйлера «считает» простые.⁴ Структурное соответствие:

Аналитическая дзета (теория чисел)	Динамическая дзета (динамика)
простые числа $p$	простые периодические орбиты
$n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$	составные орбиты (итерации)
счётчик $\pi (x)$	число точек периода $n$
$\zeta (s)={\prod }_{p}1/(1-p^{-s})$	${\zeta }_{\mathrm{dyn}}(z)$
произведение Эйлера по простым	произведение по простым орбитам
нули и полюс $\zeta$	особенности ${\zeta }_{\mathrm{dyn}}$

Это глубокая структурная связь: теория чисел и теория динамики говорят на одном языке дзета-функций. В современной математической физике она активно изучается (гипотеза Монтгомери, спектральная интерпретация нулей) — но как аналогия и программа, а не как доказанное тождество; её место — Том III.

Разбор E/R/R: произведение как правило перекодировки

Правила (L5). Конституирующее правило — перекодировка: переход от аддитивной организации (сумма по всем $n$) к мультипликативной (произведение по простым). Это правило корректно ровно потому, что действует другое правило — единственность факторизации (Глава 13.1). Дополнительно: правило положительности множителей (откуда $\zeta (k)>0$).

Роли (L4). «Произведение Эйлера» — роль-процесс (последовательность частичных произведений по простым), двойник суммы-процесса из Главы 13.2. «Множитель $1/(1-p^{-s})$» — роль-вклад отдельного атома $p$. «Свобода от нулей при $\Re s>1$» — роль-следствие положительности вкладов.

Элементы (L1$+$P4). На каждой стадии — конечные данные: конкретные $‘eule{r}_{f}actor‘pk\in Q$, частичные произведения по простым из конечного решета. Не элементы: завершённое бесконечное произведение как объект, тождество для произвольного $s$ как готовое равенство.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R-категория
перекодировка сумма$\leftrightarrow$произведение (через единственность факторизации)	конституцию связи дзеты с простыми	Правило (L5)
«произведение Эйлера»$=$процесс; множитель$=$вклад атома; свобода от нулей$=$следствие	статус объектов внутри перекодировки	Роль (L4)
конкретные $‘eule{r}_{f}actor‘pk$; частичные произведения по решету	носители на каждой стадии	Элемент (L1$+$P4)

Что снимает разбор. Произведение Эйлера часто подают как «магическое» тождество. ToS показывает его механизм: это перекодировка, законность которой держится на единственности факторизации — то есть на корректности роли «атом» из Главы 13.1. Связь дзеты с простыми перестаёт быть загадкой и становится следствием мультипликативного устройства $N$.

Что глава подготовила

Произведение Эйлера прочитано как правило перекодировки суммы в произведение, законное в силу единственности факторизации (Глава 13.1); его конструктивная сторона (частичные произведения, положительность, $\zeta (k)>0$) машинно проверена над $Q$ без аксиом, а полное трансцендентное тождество честно оставлено классическим. Отсюда: область $\Re s>1$ свободна от нулей, и все интересные нули — в критической полосе.

Дальше:

• Глава 13.4 — функциональное уравнение $s\leftrightarrow 1-s$, тривиальные нули и критическая прямая;
• Глава 13.5 — нетривиальные нули, свободная от нулей зона, счёт нулей $N(T)$;
• Глава 13.6 — логарифмическая производная и явная формула фон Мангольдта (где логарифмирование произведения Эйлера из этой главы и даёт связь нулей с простыми);
• Глава 13.7 — три формы Гипотезы Римана и карта границ части.

---

---

Часть: Часть XIII. Дзета-функция и теория чисел · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 2. Дзета-функция как процесс · Глава 4. Функциональное уравнение →

Footnotes

1. prime_factorization_unique и fundamental_theorem_of_arithmetic в новом слое src/numbertheory/PrimeFactorization.v (существование$+$единственность до перестановки, лемма Евклида через Nat.gauss; 0 аксиом, по Print Assumptions). Именно единственность гарантирует биекцию «наборы показателей $\leftrightarrow$ натуральные числа», без которой раскрытие произведения дало бы каждое $n$ с неверной кратностью. ↩

2. src/zeta/EulerProduct.v (в шапке: «AXIOMS: none», 0 аксиом): Qprod (конечное произведение над $Q$), euler_factor, euler_partial, свойства множителей (euler_factor_pos, euler_factor_gt_1, euler_factor_le_2) и ненулевость частичного произведения (euler_partial_nonzero). Cauchy-сходимость эйлерова процесса при $k\ge 2$ оформлена отдельно в src/zeta/EulerExtension.v (euler_convergent_k2), но она наследует classic через MonotoneConvergence. Файл src/stdlib/EulerProductQ.v даёт конкретный $Q$-слой первых множителей при $k=2$ и сравнение с рациональной аппроксимацией ${\pi }^2/6\approx 1645/1000$ (pi_sq_from_euler) — это конечное сравнение, а не доказательство $\zeta (2)={\pi }^2/6$. ↩

3. zero_free_partial и euler_partial_nonzero в EulerProduct.v: каждое конечное частичное произведение положительно/ненулевое (из положительности euler_factor); 0 аксиом. Предельное $\zeta (k)>0$ и полное комплексное неисчезновение $\zeta (s)\ne 0$ при $\Re s>1$ — классические следствия (произведение ненулевых множителей при абсолютной сходимости), в текущем файле не оформленные как предельные/комплексные теоремы. ↩

4. Динамическая дзета формализована отдельно в src/stdlib/DynamicalZeta.v; её подробный разбор — в линии о динамических системах (Часть VIII). Здесь мы проводим лишь структурную аналогию, а не доказываем тождество между двумя дзетами. ↩