Глава 2. Метод Эйлера: решение на сетке

Где стоит глава

От каркаса к первому процессу

Глава 8.1 задала онтологический каркас: решение задачи Коши — это процесс приближений, а существование — свойство этого процесса сходиться, а не наличие завершённой функции. Настоящая глава предъявляет простейший такой процесс во всей конкретности — метод Эйлера на рациональной сетке. Здесь нет ни одного предельного перехода: всё, что строится, — конечные рациональные числа, вычислимые точной арифметикой над ℚ.

Метод Эйлера — это самый прямой способ заставить уравнение $y^{\prime }=f(t,y)$ работать. Разобьём интервал на $N$ равных шагов и в каждом узле сделаем шаг по касательной, наклон которой задаёт правая часть. Получится ломаная, приближающая решение; её узлы — рациональные числа, а вся ломаная — процесс, индексированный номером шага. Эта глава покажет, как метод ведёт себя на трёх эталонных уравнениях (линейном, квадратичном, экспоненциальном), и — что концептуально важнее всего — строго разведёт два разных индекса, которые классический анализ сливает в одном предельном переходе.

Что эта глава утверждает — и что нет

Доказанное ядро — конкретное и арифметическое. Траектория Эйлера определена как рекурсия над ℚ; её значения на эталонных уравнениях вычислены точно: для линейного уравнения метод точен, для квадратичного даёт явную рациональную ошибку, для экспоненциального — последовательность $(1+1/N{)}^N$ рациональных приближений, ограниченную снизу двойкой и сверху тройкой.¹

Чего глава не делает: она не берёт предел $N\to \infty$ как завершённый объект, не утверждает, что Эйлер сходится к точному решению как к готовой функции, и не предъявляет $e$ как завершённую трансцендентность. Измельчение сетки — это направление процесса, а не достроенный объект; точное решение и число $e$ — роль-пределы.

Три уровня строгости, как и в Главе 8.1. Первый — конкретные рациональные траектории и их точные значения над ℚ: доказаны без аксиом. Второй — процессные чтения: сетка как разрешение, номер шага как стадия, ломаная как процесс-решение, измельчение как уточнение. Третий — точное решение и $e$ как завершённые объекты — роль-пределы. Первые два глава ведёт как доказанные, третий — как честно помеченную границу.

E/R/R-каркас главы

Каркас в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements; полный разбор — в § «Разбор в порождающем порядке». Глава вводит систему сеточного приближения по Эйлеру.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Сетка $t_k=k/N$ делит интервал на $N$ равных частей; шаг Эйлера $y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k)$ с $h=1/N$ строит ломаную из начального значения; измельчение сетки ($N$ растёт) уменьшает шаг. Для уравнений без кривизны (линейных) метод точен; кривизна правой части порождает рациональную ошибку на каждом шаге.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Разрешение сетки $N$ — роль-разрешение (насколько мелка сетка); номер шага $k$ — роль-стадия (как далеко во времени); шаг $h=1/N$ — роль-приращение; ломаная — роль-процесс (приближение решения); ошибка — роль-дефект (неучтённая за шаг кривизна); точное решение и $e$ — роль-предел.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Рациональные узлы $t_k$, значения траектории $y_k$, конечное разрешение $N$, конечный номер $k$. Под P4 ни предел измельчения, ни $e$ не суть элементы: актуальны лишь конечные сетки и конечные стадии.

Рациональная сетка и шаг Эйлера

Зафиксируем разрешение — натуральное число $N\ge 1$ — и разобьём единичный интервал на $N$ равных частей. Узлы сетки рациональны:

$$t_k=\frac{k}{N},k=0,1,\dots ,N,$$

а шаг между соседними узлами есть $h=1/N$.² Метод Эйлера превращает уравнение в рекуррентное правило: зная значение в узле, делаем шаг по касательной, которую в этой точке задаёт правая часть,

$$y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k),$$

стартуя с $y_0$ — заданного начального условия.³ Это определение — буквальная рекурсия над ℚ: каждое следующее значение получается из предыдущего одним рациональным шагом, и вся последовательность $y_0,y_1,y_2,\dots$ есть процесс в точном смысле тома — отображение номера стадии в рациональное приближение.

Траектория Эйлера — не таблица значений готовой функции, а роль-процесс: правило, разворачивающее начальное условие в последовательность рациональных стадий. Каждая стадия — конечный снимок; вся ломаная — разворачивающийся процесс, а не завершённый объект.

Два индекса: разрешение сетки и номер стадии

Здесь — концептуальное сердце главы. В определении траектории $y_k$ участвуют два натуральных индекса, и они играют разные роли:

• $N$ — разрешение сетки: на сколько частей разбит интервал. Оно задаёт шаг $h=1/N$. Чем больше $N$, тем мельче сетка и тем точнее ломаная следует за истинным наклоном.
• $k$ — номер стадии: в каком узле сетки мы находимся, то есть как далеко во времени продвинулись, $t_k=k/N$.

Классический анализ берёт предел $N\to \infty$ и в этом пределе сливает оба индекса: говорят просто <<решение в точке $t$>>, забывая, через какую сетку и за сколько шагов оно получено. Процессная точка зрения держит индексы раздельно, потому что они — разные роли. Продвижение по $k$ при фиксированном $N$ — это движение во времени по данной сетке. Рост $N$ — это уточнение самой сетки. Это два независимых направления, и смешивать их можно лишь ценой потери конструктивного смысла.

Различие не педантизм: оно прямо записано в определении траектории. Вызов euler_traj f y0 N k принимает оба индекса отдельно, и шаг $h=1/N$ зависит от разрешения, а не от номера стадии.⁴ Два эталонных режима ниже показывают это наглядно: для экспоненты мы растим $N$ (уточняем сетку, держа конечное время $t=1$, то есть $k=N$); для линейного и квадратичного — продвигаем $k$ по фиксированной сетке $N=4$.

Разрешение $N$ и номер стадии $k$ — две разные роли: $N$ — роль-разрешение (насколько мелок шаг), $k$ — роль-стадия (как далеко во времени). Завершённое решение классического анализа сливает их в пределе; процесс держит раздельно, и именно это делает каждое приближение конечным и вычислимым.

Три траектории

Линейное уравнение: Эйлер точен

Возьмём $y^{\prime }=1$, $y_0=0$. Точное решение — $y(t)=t$. Метод Эйлера на сетке $N=4$ даёт значения, в точности совпадающие с решением в узлах: $y_1=1/4$, $y_2=1/2$, $y_4=1$.⁵ Причина точности проста: наклон постоянен, касательная совпадает с графиком, и шаг по касательной не накапливает ошибки. Для уравнений без кривизны метод Эйлера не приближает, а воспроизводит решение.

Квадратичное уравнение: явная рациональная ошибка

Теперь $y^{\prime }=2t$, $y_0=0$, с точным решением $y(t)=t^2$. Здесь правая часть меняется вдоль шага, и метод Эйлера, замораживающий наклон на начало шага, отстаёт. На сетке $N=4$ в конечный момент $t=1$ метод даёт $3/4$, тогда как точное значение — $1$; ошибка — ровно $1/4$.⁶ Существенно, что ошибка — конечное рациональное число, а не туманное <<стремится к нулю>>. Метод недооценивает решение (выпуклая кривая обгоняет свои касательные), и мера этого отставания на каждой конкретной сетке вычислена точно. Уменьшение ошибки — это измельчение сетки, рост $N$: следующее направление процесса, а не достроенный предел.

Экспоненциальное уравнение: путь к $e${e}

Наконец $y^{\prime }=y$, $y_0=1$, с точным решением $y(t)=e^t$. Шаг Эйлера здесь особенно прозрачен: поскольку $f(t,y)=y$, каждый шаг умножает значение на $(1+h)$,

$$y_{k+1}=y_k+h{y}_k=y_k(1+h),$$

так что после $N$ шагов размера $h=1/N$ значение в момент $t=1$ есть $(1+1/N{)}^N$.⁷ Растя разрешение, получаем последовательность рациональных приближений:

$$N=1:2;N=2:\frac{9}{4}=2,25;N=4:\frac{625}{256}\approx 2,441,$$

растущую в сторону $e$; для показанных стадий проверены и точные значения, и оценки — в частности $2<625/256<3$.⁸ Это и есть знаменитый путь к числу $e\approx 2,718$ — но путь, а не пункт назначения: каждое $(1+1/N{)}^N$ — рациональный Элемент, вычислимый точно, а $e$ — роль-предел, к которому процесс измельчения направлен.

Последовательность $(1+1/N{)}^N${(1+1/N)^N} как процесс к $e${e}

Экспоненциальный режим заслуживает отдельного слова, потому что в нём процессная онтология тома видна особенно резко. Последовательность $(1+1/N{)}^N$ — это не завершённое число $e$ с <<хвостом приближений>>, а сам процесс, чьи стадии суть рациональные числа $2,9/4,64/27,625/256,\dots$ Каждая стадия конечна и предъявима; ни одна не равна $e$; и сходимость — это свойство процесса (монотонный рост, ограниченность сверху), а не достроенный объект на его конце.

Это в точности тот же приём, что для $e$-процесса как решения $y^{\prime }=y$ (Глава 8.5): тамошняя последовательность $(1+1/(N+1){)}^{N+1}$ — та же лестница рациональных стадий, и доказано, что она есть траектория Эйлера уравнения $y^{\prime }=y$ при $t=1$ и ограничена снизу двойкой для всех $N$ (по неравенству Бернулли); рост проверен на конкретных стадиях.⁹ Полная монотонность для всех $N$ и оценка $<3$ для всех $N$ (через бином) в нашей формализации не доказаны — это честная граница данного слоя; явное число $e$ как завершённая трансцендентность — роль-предел. Доказано конкретное: отдельные рациональные стадии, нижняя оценка $\ge 2$ для всех $N$ и проверяемые верхние оценки для показанных стадий; завершённое $e$ не строится.

Число $e$ — не завершённый объект, к которому <<приклеена>> сходящаяся последовательность, а роль-предел рационального процесса. Спрашивать <<чему равно $e$>> значит спрашивать <<какой процесс его задаёт>>; ответ — траектория Эйлера уравнения $y^{\prime }=y$, лестница $(1+1/N{)}^N$ рациональных стадий. Актуальна стадия, $e$ — направление.

E/R/R-разбор: ломаная Эйлера как Роль-процесс

Постановка

Разберём построенную систему — сеточное приближение по Эйлеру — в терминах E/R/R. Оговорка об уровне: <<система приближения>> здесь — содержательная интерпретация конструкции (сетка плюс рекуррентный шаг плюс измельчение), а не объект, буквально объявленный в коде как System. Разбор есть онтологическое осмысление структуры главы и чтение авторской E/R/R-шапки опорного файла,¹⁰ а не приписывание коду новых формальных утверждений.

Как и прежде, аббревиатура E/R/R задаёт эпистемический порядок (Elements $\to$ Roles $\to$ Rules, от наблюдаемого к глубинному), а порождающий порядок обратен: Rules $\to$ Roles $\to$ Elements. Эпистемически мы шли от наблюдаемых рациональных значений к правилу их порождения; разбор ведём в порождающем порядке.

Разбор в порождающем порядке

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). В основании — сетка $t_k=k/N$ и рекуррентный шаг Эйлера $y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k)$ с $h=1/N$, разворачивающий начальное условие в ломаную. Над ним — правило измельчения: рост разрешения $N$ уменьшает шаг и приближает ломаную к истинному наклону. Поведение метода управляется кривизной правой части: при её отсутствии (линейное уравнение) метод точен, при наличии — порождает рациональную ошибку, мера которой на каждой сетке вычислима. Универсальный слой этих правил — законы L1–L5; конкретный — формула шага и зависимость $h=1/N$.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Правила задают роли. Разрешение $N$ — роль-разрешение: насколько мелка сетка. Номер стадии $k$ — роль-стадия: как далеко во времени. Шаг $h=1/N$ — роль-приращение. Ломаная — роль-процесс: приближение решения, разворачиваемое стадия за стадией. Ошибка между Эйлером и точным значением — роль-дефект: неучтённая за шаг кривизна. А точное решение и число $e$ — роль-предел: направление измельчения, не актуализируемое как завершённый объект.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Роли подбирают носителей, и носители здесь конечны: рациональные узлы $t_k=k/N$, значения $y_k$, конечное разрешение $N\in N$, конечный номер $k\in N$. Под P4 ни предел измельчения, ни $e$ не суть элементы: актуальны лишь конечные сетки и стадии; актуализируется процесс уточнения, а не его завершённый предел.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
сетка $t_k=k/N$; шаг $y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k)$, $h=1/N$; измельчение $N\uparrow$	КАК строится и уточняется ломаная	Rules ($L5$)
разрешение $N$; стадия $k$; приращение $h$; ломаная-процесс; ошибка; решение/$e$ как предел	ЗАЧЕМ значимы носители: роли в приближении	Roles ($L4$)
$t_k\in Q$; $y_k\in Q$; $N\in N$; $k\in N$	ЧТО есть на каждой стадии (конечно, P4)	Elements ($L1$, P4)

Проверка сформированности и что даёт разбор

{ Система сформирована корректно: каждый компонент попадает ровно в одну E/R/R-категорию, и нет самоотнесения (P1). Существенно различение двух индексов — разрешения $N$ и стадии $k$: смешать их (как делает классический предел <<решение в точке $t$>>, забывающий о сетке) значило бы спутать роль-разрешение с роль-стадией. Здесь они разведены и попадают в Roles по отдельности, а их носители — два разных натуральных числа — по отдельности же суть Elements. Именно эта раздельность объясняет, почему метод Эйлера остаётся конечным и вычислимым на каждой стадии: предел $N\to \infty$ не входит в конструкцию.}

Что даёт разбор. Он переводит результаты главы на язык структуры: ломаная Эйлера — это Роль-процесс (приближение решения), разрешение и стадия — две разные Роли (мелкость сетки и положение во времени), ошибка — Роль-дефект (неучтённая кривизна), а узлы $t_k$, значения $y_k$ и индексы $N,k$ — Элементы (конечные на каждой стадии). Брать <<точное решение>> или $e$ как завершённый объект-Элемент значит ставить роль-предел на место Элемента — то же смешение категорий, что <<число как объект>> вместо роли-количества (Часть II) или <<ряд Фурье как завершённая сумма>> вместо семейства усечений (Глава 7.1). Решение на сетке начинается здесь как конечная ломаная; её уточнение — процесс измельчения, а завершённая функция-решение не нужна и не строится.

Следующая глава поднимает приближение на уровень выше: от траектории Эйлера — к оператору Пикара, действующему на целые функции, и к доказанной теореме о том, что этот оператор есть сжатие на пространстве функций — на конечной сетке, в sup-метрике над $Q^{N+1}$. Там процесс приближений обретает гарантию сходимости — центральный результат Части VIII.

---

---

Часть: Часть VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 1. Задача Коши и решение как процесс · Глава 3. Пикар–Линделёф: оператор-сжатие на пространстве функций →

Footnotes

1. Опорный файл — analysis/PicardLindelof.v (Rocq-репозиторий ToS): grid, euler_step, euler_traj и теоремы о конкретных траекториях (euler_traj_linear_4, euler_quadratic_error, euler_traj_exp_4 и др.). Все — точная рациональная арифметика (vm_compute или ring), 0 аксиом. Для экспоненты как процесса — ProcessExpProcess.v (Глава 8.5, батч C). ↩

2. grid N k $=‘injec{t}_Z(Z.o{f}_{n}atk)‘/‘injec{t}_Z(Z.o{f}_{n}atN)‘$ в PicardLindelof.v — это $k/N$ над ℚ. Шаг $h=1/N$ зашит в определение траектории. ↩

3. euler_step f h t y $=y+h\cdot fty$ и euler_traj f y0 N k (рекурсия по $k$ с шагом $1/N$ и узлами grid N k') в PicardLindelof.v. База euler_traj_0: euler_traj f y0 N 0 == y0. ↩

4. Именно поэтому в euler_traj разрешение $N$ и номер $k$ — разные аргументы, а шаг $1/‘injec{t}_Z(Z.o{f}_{n}atN)‘$ берётся от $N$. Сходимость $(1+1/N{)}^N\to e$ — это рост $N$ при $k=N$ (фиксированное конечное время $t=1$); движение по линейной траектории — рост $k$ при фиксированном $N$. ↩

5. euler_traj_linear_1, _2, _4 в PicardLindelof.v: euler_traj f_const_one 0 4 k даёт $1/4,1/2,1$ для $k=1,2,4$. Точность — следствие отсутствия кривизны: правая часть постоянна. lipschitz_const: поле $f\equiv 1$ липшицево с $L=0$. ↩

6. euler_traj_quadratic_4: euler_traj f_two_t 0 4 4 == 3#4; euler_quadratic_error: $1-3/4=1/4$. Оба в PicardLindelof.v, точная арифметика. ↩

7. euler_step_concrete: euler_step f_identity h t y == y*(1+h) в PicardLindelof.v. lipschitz_identity: поле $f(t,y)=y$ липшицево с $L=1$. ↩

8. euler_traj_exp_1, _2, _4: значения $2,9/4,625/256$; euler_traj_exp_lower ($2<625/256$) и euler_traj_exp_converges ($625/256<3$). Все в PicardLindelof.v. ↩

9. exp1_is_euler (тождество <<$e$-процесс$=$траектория Эйлера для $y^{\prime }=y$ при $t=1$>>) и exp1_lower ($e$-процесс$\ge 2$ для всех $N$, через Бернулли) — общие; exp1_climb (рост на первых стадиях) и стадии $2,9/4,64/27$ (exp1_0, _1, _2) — конкретные. Все в ProcessExpProcess.v (Глава 8.5, батч C), 0 аксиом (проверено Print Assumptions). ↩

10. Шапка PicardLindelof.v даёт разметку прямо: Elements — правая часть $f$, узлы сетки $t_k$, значения траектории $y_k$; Roles — шаг как приближение, траектория как процесс-решение; Rules — $y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k)$. ↩