Глава 1. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье

Где стоит глава

Открытие Части VII

Часть VI довела до конца меру и интегрирование без Аксиомы Выбора и завершилась гильбертовым слоем: скалярным произведением на процессах, неравенством Бесселя, критерием Парсеваля, теоремой Рисса–Фишера в её процессном прочтении и изометриями квантовой динамики. Тем самым в руках оказался весь аппарат, нужный для следующего шага: гармонического анализа — разложения функции по ортонормированной системе и преобразования Фурье.

Часть VII применяет к этому аппарату тот же приём, что вёл весь том. Классический гармонический анализ берёт как завершённые объекты полный ортонормированный базис, бесконечный ряд Фурье $\sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} e_{k}$ и непрерывное преобразование с интегралами от трансцендентных $sin$ и $cos$ . ToS берёт каждый из них как процесс или роль-предел: конечную ортонормированную систему и её частичную сумму — как доказуемое ядро, а завершённый базис и бесконечный ряд — как честно помеченную границу. Центральным предъявленным объектом Части VII будет рациональное преобразование Уолша–Адамара (Глава 7.2): ортогональное $\pm 1$ -преобразование над булевым кубом — <<Фурье без трансцендентностей>>.

Настоящая глава — мост из Части VI. Она переформулирует уже доказанный L²-аппарат как теорию коэффициентов Фурье: что такое координата функции вдоль направления ортонормированной системы, в каком смысле частичная сумма есть наилучшее приближение, и как неравенство Бесселя и равенство Парсеваля прочитываются как точные конечные утверждения о сохранении энергии.

Что эта глава утверждает — и что нет

Честность с самого начала. Глава работает с конечной ортонормированной системой ${e_{k}}_{k < K}$ из $K$ векторов на $N$ координатах над ℚ и доказывает о ней всё, что нужно для теории коэффициентов: линейность скалярного произведения по конечному разложению, ортогональность остатка проекции к её носителю, тождество <<энергия $=$ захваченная часть $+$ остаток>>, неравенство Бесселя $\sum_{k < K} c_{k}^{2} \leq \norm f^{2}$ и равенство Парсеваля как критерий полноты — всё это без единой аксиомы.¹

Чего глава не делает: она не строит завершённый бесконечный ортонормированный базис, не утверждает, что замкнутая оболочка системы есть всё пространство, и не вводит нормировку $1/ N$ иначе как абстрактным параметром (она -трансцендентна и рациональна лишь когда $N$ — точный квадрат). Бесконечный ряд Фурье как завершённая сумма и непрерывная тригонометрия — честная P4-граница, к которой мы вернёмся в Главах 7.3 и 7.4.

Чтобы держать границу в поле зрения, различим три уровня строгости. Первый — конечная ортонормированная система на $N$ координатах: здесь Бессель, тождество энергии и критерий полноты доказаны точно над ℚ, без аксиом. Второй — процессные чтения: коэффициент как координата-проекция, частичная сумма как наилучшее приближение, полнота как исчерпание энергии. Третий — завершённый бесконечный базис и полный ряд Фурье как готовые объекты — роль-предел и направление, а не построенная теория. Первые два уровня глава ведёт как доказанные, третий — как честно помеченную границу.

E/R/R-каркас главы

Зададим каркас системы в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements; полный разбор с таблицей и проверкой корректности — в § «Разбор в порождающем порядке». Глава вводит систему разложения по ортонормированной системе.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Скалярное произведение билинейно и симметрично; ортонормированность $\inner e_{i} e_{j} = δ_{ij}$ ; коэффициент Фурье $c_{k} = \inner e_{k} f$ ; тождество энергии $\sum_{k < K} c_{k}^{2} + \norm r_{K}^{2} = \norm f^{2}$ ; равенство Парсеваля выполнено тогда и только тогда, когда система полностью восстанавливает $f$ .

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Коэффициент $c_{k}$ — роль-координата функции вдоль $e_{k}$ ; частичная сумма $P_{K}$ — роль-наилучшего-приближения; норма остатка $\norm r_{K}^{2}$ — роль-дефект полноты; <<полный базис>> и завершённый ряд — роль-предел.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1 $+$ P4). Рациональные коэффициенты $c_{k}$ , координаты $e_{k} (m)$ и $f (m)$ , конечные суммы $\sum_{i < N}$ и $\sum_{k < K}$ ; завершённый бесконечный базис — вне элементов (P4).

Ортонормированная система и коэффициенты Фурье

Скалярное произведение на процессах

Гильбертова геометрия Части VI стоит на одном конечном объекте — скалярном произведении векторов на первых $N$ координатах:

\inner a b_{N} = i < N \sum a_{i} b_{i}, \norm f^{2} = \inner f f_{N} = i < N \sum f_{i}^{2} .

Это рациональная конечная сумма — ни предела, ни завершённой бесконечности.² Оно симметрично и линейно по каждому аргументу: эти свойства — не постулаты, а простые тождества над ℚ, доказываемые одним шагом ring под знаком суммы.³

Ортонормированная система на этих $N$ координатах — это набор векторов ${e_{k}}$ , попарно ортогональных и единичной нормы:

\inner e_{i} e_{j}_{N} = {1, 0, i = j, i \neq = j .

В коде это гипотеза Hon раздела об ортонормированных системах — явно предъявленное условие на конкретный набор $e$ , а не существование <<какого-то базиса>>.⁴ Система конечна и рациональна; никакого завершённого бесконечного базиса здесь нет и не требуется.

Коэффициент Фурье и проекция

Коэффициент Фурье функции $f$ по вектору $e_{k}$ — это её координата вдоль этого направления:

c_{k} = \inner e_{k} f_{N} .

Частичная сумма — проекция $f$ на первые $K$ направлений:

P_{K} (m) = k < K \sum c_{k} e_{k} (m) = k < K \sum \inner e_{k} f_{N} e_{k} (m) .

Ключ ко всей теории — линейность скалярного произведения по этому конечному разложению: спаривание любого вектора $h$ с комбинацией $\sum_{k < K} c_{k} e_{k}$ распадается в сумму спариваний,

⟨ h, \sum_{k < K} c_{k} e_{k} ⟩_{N} = \sum_{k < K} c_{k} \inner h e_{k}_{N} .

На процессном L² это утверждение о перестановке двойной конечной суммы (дискретная теорема Фубини, доказанная в Части V): внести $h_{m}$ под внутреннюю сумму, поменять порядок суммирования $m \leftrightarrow k$ , вынести $c_{k}$ .⁵

Коэффициент Фурье $c_{k}$ — не <<часть>> функции $f$ и не самостоятельный объект, а роль: координата $f$ в направлении $e_{k}$ , значение, которое правило $\inner e_{k} \cdot$ приписывает функции. Разложение — это процесс снятия таких координат, направление за направлением.

Наилучшее приближение и неравенство Бесселя

Остаток ортогонален носителю проекции

Пусть $r_{K} = f - P_{K}$ — остаток после снятия первых $K$ координат. Геометрия проекции держится на одном факте: остаток ортогонален подпространству, на которое проектируем. Сначала промежуточное: $K$ -й вектор ортогонален оболочке первых $K$ , поскольку каждое слагаемое $c_{k} \inner e_{K} e_{k}$ при $k < K$ зануляется ортонормированностью.⁶ Следствие: для всех уже снятых направлений $j < K$ выполнено $\inner e_{j} r_{K}_{N} = c_{j} - c_{j} = 0$ — остаток <<не виден>> ни одному из векторов, по которым уже разложились.

Тождество энергии: теорема Пифагора для разложения

Отсюда — центральное тождество главы. Норма остатка есть полная энергия минус сумма квадратов снятых коэффициентов:

\norm f - P_{K}^{2} = \norm f^{2} - k < K \sum c_{k}^{2} .

Это теорема Пифагора для ортогонального разложения: энергия функции распадается на захваченную проекцией ( $\sum_{k < K} c_{k}^{2}$ ) и оставшуюся ( $\norm r_{K}^{2}$ ), без перекрёстных членов.⁷

Наилучшее приближение

Почему именно коэффициенты $c_{k} = \inner e_{k} f$ , а не какие-то другие веса $a_{k}$ ? Потому что они дают наилучшее приближение $f$ в норме среди всех линейных комбинаций ${e_{k}}$ . Норма ошибки любого выбора весов распадается на неустранимую часть и штраф за отклонение от коэффициентов Фурье:

f - \sum_{k < K} a_{k} e_{k}^{2} = \norm f - P_{K}^{2} + \sum_{k < K} (a_{k} - c_{k})^{2},

и это доказанное тождество, а не эвристика: правая часть не меньше $\norm f - P_{K}^{2}$ , с равенством тогда и только тогда, когда $a_{k} = c_{k}$ для всех $k < K$ — коэффициенты Фурье суть единственный минимум.⁸

Частичная сумма $P_{K}$ — роль-наилучшего-приближения: среди всех способов описать $f$ через $K$ направлений ортонормированной системы координаты Фурье минимизируют невязку. Это не выбор из готового множества приближений, а правило, выделяющее единственный оптимум.

Неравенство Бесселя

Поскольку норма остатка неотрицательна, тождество Пифагора немедленно даёт неравенство Бесселя:

k < K \sum c_{k}^{2} \leq \norm f^{2} .

Энергия, захваченная любым числом $K$ направлений, не превосходит полной энергии функции.⁹ В отличие от классической формулировки, где справа стоит завершённая бесконечная сумма, здесь и слева, и справа — конечные рациональные величины, а само неравенство есть теорема о конструкции, а не предельный постулат.

Бессель — это правило бухгалтерии энергии: сколько бы координат мы ни сняли, их суммарный <<вес>> не может превысить вес самой функции. Никакого <<переполнения>> разложение не создаёт.

Парсеваль как конечный критерий полноты

Расщепление энергии

Перепишем тождество Пифагора как расщепление энергии:

захвачено k < K \sum c_{k}^{2} + дефект \norm r_{K}^{2} = \norm f^{2} .

Полная энергия функции в точности делится между тем, что схватило разложение, и тем, что осталось в невязке.¹⁰ Норма остатка $\norm r_{K}^{2}$ играет роль дефекта полноты: она измеряет, чего разложению не хватает до точного восстановления $f$ .

Равенство Парсеваля и его эквивалент — полнота

Равенство Парсеваля $\sum_{k < K} c_{k}^{2} = \norm f^{2}$ — это утверждение, что дефект равен нулю. Расщепление энергии превращает его в точную эквивалентность: Парсеваль выполнен тогда и только тогда, когда норма остатка равна нулю. А над ℚ конечная сумма квадратов равна нулю в точности тогда, когда зануляется каждое слагаемое; значит, нулевой дефект эквивалентен тому, что разложение полностью восстанавливает $f$ на всех $N$ координатах:

k < K \sum c_{k}^{2} = \norm f^{2} ⟺ P_{K} (m) = f (m) для всех m < N .

Это и есть честное конструктивное содержание формулы <<Парсеваль $=$ критерий полноты>>.¹¹

Полнота — не свойство завершённого бесконечного базиса, а конечный критерий: исчерпывает ли данная система всю энергию $f$ на $N$ координатах. Равенство Парсеваля — роль-равенство (нет потери энергии), а его проверка для конечной системы есть точный процессно-алгебраический факт.

Свидетель: равенство достигается

Чтобы критерий не остался пустым, предъявлен явный свидетель достижения равенства: стандартный базис на $N = 2$ координатах и функция $f = (3, 4)$ дают $\sum_{k < 2} c_{k}^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 = \norm f^{2}$ — полнота на двух координатах.¹² Малость примера здесь принципиальна: он показывает, что критерий работает, а не только формулируется.

Где граница

Граница ровно там, где появляется завершённая бесконечность. Парсеваль для бесконечного базиса ( $K, N \to \infty$ ), утверждение, что замкнутая оболочка системы есть всё пространство, и безусловное равенство для завершённого ортонормированного базиса — всё это роль-пределы: ToS не строит завершённый базис.¹³ Доказано конечное: критерий полноты на $N$ координатах. Этого достаточно, чтобы вести теорию рядов Фурье как теорию усечений (Глава 7.4), не вызывая к существованию завершённый ряд.

Конкретная ортогональная система: Уолш–Адамар

Всё предыдущее говорилось об абстрактной ортонормированной системе, заданной гипотезой Hon. Закономерен вопрос: существует ли конкретная рациональная система, на которой работает эта геометрия? Ответ требует одной оговорки об уровне. Рациональная ортогональная система — да: её даёт Уолш–Адамар, и она будет героиней следующей главы. Но буквальная ортонормированность $\inner e_{i} e_{j} = δ_{ij}$ требует нормировки $1/ N$ — и это уже следующий слой.

Столбцы матрицы Адамара $H_{N}$ — векторы из $\pm 1$ (чисто рациональные), и они попарно ортогональны с квадратом нормы $N$ :

\inner H_{i} H_{j}_{N} = N \cdot δ_{ij} .

Это доказано для всех $N = 2^{k}$ как точное тождество над ℚ (индукцией по рекурсивной структуре Сильвестра), без аксиом.¹⁴ Чтобы получить из них ортонормированную систему в смысле Hon ( $\inner e_{i} e_{j} = δ_{ij}$ ), нужно нормировать: $e_{k} = H_{k} / N$ . И вот здесь — единственная трансцендентность: множитель $1/ N$ рационален лишь когда $N$ — точный квадрат (например $N = 4$ , $N = 2$ ), а в общем случае вводится абстрактным параметром $s$ с условием $s^{2} = N$ , в полном согласии с приёмом Части VI (корень параметризуется, а в наблюдаемых величинах сокращается).

Само же сохранение энергии не требует нормировки и доказано напрямую: для ненормированного преобразования Уолша

\norm H f^{2} = N \norm f^{2}

(дискретный аналог равенства Планшереля).¹⁵ Переход к нормированной системе делит обе части на $N$ и возвращает Парсеваль в форме $\sum_{k} c_{k}^{2} = \norm f^{2}$ .

Конкретная ортогональная система рациональна по построению ( $\pm 1$ -векторы Адамара, ортогональность — точное тождество над ℚ). Единственная трансцендентность на пути к ортонормировке — множитель $1/ N$ ; он отделён от ортогональности и честно вынесен в роль-предел. <<Фурье без трансцендентностей>> — это ортогональность и сохранение энергии до нормировки.

E/R/R-разбор: коэффициент как Роль-координата

Постановка

Разберём построенную систему — разложение функции по конечной ортонормированной системе — в терминах E/R/R. Оговорка об уровне: <<система разложения>> здесь — содержательная интерпретация конструкции (скалярное произведение плюс ортонормированность плюс проекция), а не объект, буквально объявленный в коде как System. Разбор есть онтологическое осмысление структуры главы и чтение авторских E/R/R-шапок опорных файлов,¹⁶ а не приписывание коду новых формальных утверждений.

Напомним принятое в томе различение: аббревиатура E/R/R задаёт эпистемический порядок (Elements $\to$ Roles $\to$ Rules, от наблюдаемого к глубинному), а порождающий (онтологический) порядок обратен: Rules $\to$ Roles $\to$ Elements. Эпистемически глава шла от наблюдаемых величин (коэффициенты, нормы) к законам; ведём разбор в порождающем порядке.

Разбор в порождающем порядке

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). В основании — геометрия скалярного произведения: оно билинейно и симметрично, а ортонормированность фиксирует $\inner e_{i} e_{j} = δ_{ij}$ . Над ней — правило снятия координаты $c_{k} = \inner e_{k} f$ и линейность спаривания по конечному разложению ( $\inner h \sum c_{k} e_{k} = \sum c_{k} \inner h e_{k}$ ). Венчают конструкцию правило сохранения энергии (тождество Пифагора $\sum c_{k}^{2} + \norm r_{K}^{2} = \norm f^{2}$ ) и критерий полноты (Парсеваль $\Leftrightarrow$ точное восстановление $f$ ). Универсальный слой этих правил — законы L1–L5; конкретный слой — формула $c_{k} = \inner e_{k} f$ и ортонормированность.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Правила задают роли. Коэффициент $c_{k}$ — роль-координата: место, которое функция занимает вдоль направления $e_{k}$ . Частичная сумма $P_{K}$ — роль-наилучшего-приближения. Норма остатка $\norm r_{K}^{2}$ — роль-дефект полноты. <<Полнота системы>> — роль-свойство (всю ли энергию исчерпывает разложение). А <<полный бесконечный базис>> и завершённый ряд Фурье — роль-предел: место, к которому стремятся усечения, не актуализируемое как объект.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1 $+$ P4). Роли подбирают носителей, и носители здесь конечны на каждой стадии: рациональные коэффициенты $c_{k}$ , координаты $e_{k} (m)$ и значения $f (m)$ , конечные суммы $\sum_{i < N}$ и $\sum_{k < K}$ . Под P4 ни один элемент не есть завершённая бесконечность: актуальны лишь конечные разложения; <<завершённый базис>> не актуализируется как элемент, актуализируется процесс усечений к нему.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
$\inner e_{i} e_{j} = δ_{ij}$ ; $c_{k} = \inner e_{k} f$ ; Пифагор; Парсеваль $\Leftrightarrow$ полнота	КАК организовано разложение и сохранение энергии	Rules ( $L 5$ )
координата $c_{k}$ ; наилучшее приближение $P_{K}$ ; дефект $\norm r_{K}^{2}$ ; полнота; полный базис	ЗАЧЕМ значимы носители: места в системе	Roles ( $L 4$ )
$c_{k} \in Q$ ; координаты $e_{k} (m)$ , $f (m)$ ; конечные суммы $\sum_{i < N}$ , $\sum_{k < K}$	ЧТО есть на каждой стадии (конечно, P4)	Elements ( $L 1$ , P4)

Проверка сформированности и что даёт разбор

{ Система сформирована корректно: каждый компонент попадает ровно в одну E/R/R-категорию, и нет самоотнесения (P1). Существенно, чего здесь нет: разложение не берёт своим элементом <<совокупность всех бесконечных гармоник>> или завершённый ортонормированный базис. Система конечна, а полнота проверяется как критерий на $N$ координатах, а не как членство функции в замыкании завершённого базиса. Именно отсутствие такого самоотнесения объясняет, почему теория коэффициентов Фурье не нуждается здесь ни в завершённой бесконечной сумме, ни в постулате о полноте базиса: всё содержательное выражено конечными координатами и критерием их достаточности.}

Что даёт разбор. Он переводит результаты главы на язык структуры: коэффициент Фурье — это Роль (координата вдоль направления), полнота — это Правило-критерий (исчерпание энергии), а сами числа $c_{k}$ и значения $f (m)$ — Элементы (конечные на каждой стадии). Брать <<ряд Фурье>> как завершённую бесконечную сумму-объект значит ставить роль-предел на место Элемента — смешение категорий того же рода, что <<число как объект>> вместо роли-количества (Часть II), <<точка как объект>> вместо класса (Глава 4.3), <<несчётность как свойство множества>> вместо правила о процессах (Глава 4.4). Ряд Фурье начинается здесь как семейство конечных наилучших приближений; его процессная сходимость — предмет Главы 7.4, а как завершённый объект он не нужен и не строится.

Следующая глава предъявляет конкретную рациональную ортонормированную систему во всей полноте — преобразование Уолша–Адамара. Там абстрактная гипотеза Hon сменяется доказанным тождеством $H_{N}^{T} H_{N} = N \cdot I$ , а сохранение энергии — дискретным равенством Планшереля $\norm H f^{2} = N \norm f^{2}$ : Фурье, построенный без единой трансцендентности.

Часть: Часть VII. Гармонический анализ · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 6. Операторы на L^2: самосопряжённость, спектр и мост в квантовую динамику — Часть VI · Глава 2. Уолш–Адамар: преобразование без трансцендентностей →

Опорные файлы — ProcessL2BesselGeneral.v (каталог src/process/ Rocq-репозитория ToS, 10 доказанных утверждений, 0 Admitted, 0 аксиом) и ProcessL2Parseval.v (7 утверждений, 0 аксиом). Имена лемм в сносках ниже — из них и из ProcessFourierON.v. ↩
Определение seq_inner (файл ProcessCompactSpectral.v); $\norm f^{2}$ — это seq_inner f f N. ↩
seq_inner_sym (симметрия) и seq_inner_sub_r (линейность по разности во втором аргументе) в ProcessL2BesselGeneral.v; оба — 0 аксиом. ↩
Hypothesis Hon : forall i j, seq_inner (e i) (e j) N == (if Nat.eqb i j then 1 else 0) в обоих файлах. Конкретная система, удовлетворяющая Hon (нормированный Уолш), — в § «Конкретная ортогональная система: Уолш–Адамар». ↩
inner_proj_swap в ProcessL2BesselGeneral.v: доказывается через q_sum_swap (перестановка порядка суммирования) и q_sum_scale. 0 аксиом. ↩
proj_ortho: $\inner e_{K} \sum_{k < K} c_{k} e_{k}_{N} = 0$ . Отсюда coef_e_resid: $\inner e_{K} f - P_{K}_{N} = \inner e_{K} f_{N}$ — проекция не трогает ещё не снятую координату. Оба в ProcessL2BesselGeneral.v, 0 аксиом. ↩
resid_norm в ProcessL2BesselGeneral.v: доказывается индукцией по $K$ через тождество $\norm F - c E^{2} = \norm F^{2} - 2 c \inner E F + c^{2} \norm E^{2}$ (seq_inner_resid) и ортогональность остатка. 0 аксиом. ↩
Тождество наилучшего приближения — best_approx_eq; следствие-минимум $\norm f - P_{K}^{2} \leq \norm f - \sum a_{k} e_{k}^{2}$ — best_approx_ge; единственность (равенство $\Leftrightarrow$ $a_{k} = c_{k}$ ) — best_approx_unique (через лемму <<конечная сумма квадратов над ℚ равна нулю лишь когда каждое слагаемое нуль>>, q_sum_sq_zero). Все — в ProcessBestApproximation.v, 0 аксиом. Единственность здесь — конечная, на фиксированном диапазоне $k < K$ ; сходимость бесконечного ряда — предмет Главы 7.4. ↩
bessel_general в ProcessL2BesselGeneral.v: из resid_norm и неотрицательности нормы остатка одним шагом lra. 0 аксиом. Это общее неравенство Бесселя для произвольной конечной ортонормированной системы — не привязанное к конкретному базису. ↩
energy_split в ProcessL2Parseval.v: тривиальное следствие resid_norm (один lra). 0 аксиом. ↩
parseval_iff_complete в ProcessL2Parseval.v — капстоун файла; опирается на q_sum_sq_zero (<<сумма квадратов нуль $\Rightarrow$ каждый член нуль>> над ℚ) и energy_split. 0 аксиом. ↩
parseval_std_concrete в ProcessL2Parseval.v: проверяется vm_compute’ом — точной рациональной арифметикой. (Это пифагорова тройка $3, 4, 5$ , прочитанная как сохранение энергии; сама тройка — рациональная точка единичной окружности, значение $t = 1/2$ стереографической параметризации, выводимая, а не постулируемая — PythagoreanTriples.v.) ↩
Шапка ProcessL2Parseval.v помечает это прямо: бесконечный базис, замкнутая оболочка $=$ всё пространство, безусловное равенство для завершённого базиса — роль-пределы (P4-граница); доказан конечный критерий полноты. ↩
hadamard_orthogonal в ProcessWalshHadamard.v: $\sum_{j < 2^{k}} H_{ij} H_{i^{'} j} = 2^{k} δ_{i i^{'}}$ , доказано индукцией по $k$ . 0 аксиом. Подробно — Глава 7.2. ↩
parseval_walsh в ProcessFourierON.v: $\inner H f H f_{N} = N \inner f f_{N}$ , выведено из самосопряжённости преобразования Уолша и тождества $H (H f) = N f$ . 0 аксиом. ↩
Шапки дают разметку прямо: ProcessL2BesselGeneral.v — Elements: коэффициенты $c_{k}$ , координаты $e_{k} (m)$ , конечные двойные суммы; Roles: $\inner h \sum c_{k} e_{k}$ распределено по разложению, Бессель — энергия по $K$ направлениям; Rules: $\inner h \sum c_{k} e_{k} = \sum c_{k} \inner h e_{k}$ . ProcessL2Parseval.v — Roles: $\inner e_{k} f$ — координата, $\norm r_{K}^{2}$ — дефект полноты; Rules: расщепление энергии и Парсеваль $\Leftrightarrow$ полнота. ↩

Путь Мудрости

Проводник

Глава 1. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье

Где стоит глава

Открытие Части VII

Что эта глава утверждает — и что нет

E/R/R-каркас главы

Ортонормированная система и коэффициенты Фурье

Скалярное произведение на процессах

Коэффициент Фурье и проекция

Наилучшее приближение и неравенство Бесселя

Остаток ортогонален носителю проекции

Тождество энергии: теорема Пифагора для разложения

Наилучшее приближение

Неравенство Бесселя

Парсеваль как конечный критерий полноты

Расщепление энергии

Равенство Парсеваля и его эквивалент — полнота

Свидетель: равенство достигается

Где граница

Конкретная ортогональная система: Уолш–Адамар

E/R/R-разбор: коэффициент как Роль-координата

Постановка

Разбор в порождающем порядке

Проверка сформированности и что даёт разбор

Вид графа

Оглавление

Обратные ссылки

Путь Мудрости

Проводник

Глава 1. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье

Где стоит глава

Открытие Части VII

Что эта глава утверждает — и что нет

E/R/R-каркас главы

Ортонормированная система и коэффициенты Фурье

Скалярное произведение на процессах

Коэффициент Фурье и проекция

Наилучшее приближение и неравенство Бесселя

Остаток ортогонален носителю проекции

Тождество энергии: теорема Пифагора для разложения

Наилучшее приближение

Неравенство Бесселя

Парсеваль как конечный критерий полноты

Расщепление энергии

Равенство Парсеваля и его эквивалент — полнота

Свидетель: равенство достигается

Где граница

Конкретная ортогональная система: Уолш–Адамар

E/R/R-разбор: коэффициент как Роль-координата

Постановка

Разбор в порождающем порядке

Проверка сформированности и что даёт разбор

Footnotes

Вид графа

Оглавление

Обратные ссылки