Глава 5. L^1 и L^2: пространства как процессы, полнота как конструируемость

Где стоит глава

От интеграла — к пространствам

Главы 6.1–6.4 построили меру, интеграл Лебега и аппарат предельного перехода под интегралом. Настоящая глава делает следующий шаг: собирает из интеграла пространства функций — $L^1$ и $L^2$. $L^1$ — это пополнение ступенчатых функций по интегральной норме $\Vert f{\Vert }_1=\int |f|$; оно уже было построено в Главе 6.3 как процесс. $L^2$ — пространство функций с конечным $\int |f{|}^2$, наделённое скалярным произведением $⟨f,g⟩=\int fg$, а потому — геометрией: длинами, углами, ортогональностью. Эта геометрия и есть новый материал главы: она превращает анализ в геометрию, и именно $L^2$ — гильбертово пространство — станет сценой для операторов и квантовой механики (Глава 6.6 и физический том).

Где прячется бесконечность — и что доказано

Главный вопрос о всяком таком пространстве — полнота: всякая ли последовательность, <<сходящаяся в себе>> (Коши), имеет предел внутри пространства? Классический ответ для $L^2$ — теорема Рисса–Фишера — утверждает, что да; но классическое доказательство тянет завершённую меру, выбор подпоследовательности почти всюду и предельную функцию как готовый объект. Здесь и прячется неконструктивность.

ToS перечитывает полноту так же, как всюду в Части VI: полнота есть конструируемость предела-процесса, а не существование, добытое Цорном или Аксиомой Выбора. Держим три уровня строгости. Доказано без аксиом (на конечном носителе из $N$ точек, на каждой стадии): неравенство Коши–Шварца (через тождество суммы квадратов), бескорневая квадратная оценка для $L^2$-дистанции, наилучшее приближение и общее неравенство Бесселя, равенство Парсеваля как конечный критерий полноты разложения, и Рисс–Фишер по построению — предел Коши-последовательности строится покоординатно. Остаётся честной границей (P4): завершённое бесконечномерное ${\ell }^2/L^2$ — где норма есть сумма по всем координатам ($N\to \infty$), — и завершённый ортобазис; это роль-пределы, не актуализируемые объекты. Эту границу мы удерживаем явно в каждом разделе.¹

E/R/R-каркас главы

Прежде чем строить, зададим каркас системы в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements; полный разбор с таблицей и проверкой корректности — в § «E/R/R-разбор: L^2-пространство как система». Глава вводит систему — пространство $L^2$.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Геометрия скалярного произведения (Коши–Шварц, наилучшее приближение, Бессель, Парсеваль) и полнота как конструируемость предела-процесса. Эти правила организуют всё остальное.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Скалярное произведение — спаривание (геометрия); норма — величина (энергия); координата $⟨e_k,f⟩$ — проекция; предел $f_{\infty }$ — роль-предел.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Рациональные значения $f_i$ и конечные суммы на каждой стадии; завершённое ${\ell }^2$ — вне элементов (P4-граница).

Дальнейшие разделы наполняют каркас: § «Скалярное произведение и неравенство Коши–Шварца» — спаривание и Коши–Шварц, § «Наилучшее приближение: проекция, Пифагор, Бессель» — проекция и Бессель, § «Парсеваль: конечный критерий полноты» — Парсеваль, § «Рисс–Фишер: полнота по построению» — полнота-предел.

$L^1$: итог Главы 6.3 и место в иерархии

Пространство $L^1$ настоящая глава не строит заново — оно построено в Главе 6.3. Напомним итог: интегрируемая функция есть предел ступенчатых функций по интегральной норме $\Vert f{\Vert }_1=\int |f|$, то есть Коши-последовательность ступенчатых. Само пространство $L^1$ — это тип таких Коши-процессов, с точностью до отношения <<совпадать в среднем>> ($\Vert f-g{\Vert }_1\to 0$, процессное чтение <<почти всюду>>). Полнота $L^1$ при этом — не отдельная теорема, а свойство построения: $L^1$ и есть пространство Коши-процессов ступенчатых функций, его предельные элементы конструируемы по определению.²

Где же место $L^2$ относительно $L^1$? На конечной выборке из $N$ точек оба измеряют ту же функцию, и доказанное неравенство Коши–Шварца (§ «Скалярное произведение и неравенство Коши–Шварца») немедленно их связывает: взяв вторым аргументом постоянную единицу, получаем

$$({\sum }_{i<N}|f_i|{)}^2\le ({\sum }_{i<N}|f_i{|}^2)\cdot N,\text{то есть}\Vert f{\Vert }_1^2\le N\Vert f{\Vert }_2^2.$$

$L^2$-контроль влечёт $L^1$-контроль (на $N$ точках): близость в среднеквадратичном даёт близость в среднем.³

$L^1$ — фон, построенный в 6.3; $L^2$ — новая геометрия. Их связь на конечной выборке — одно применение Коши–Шварца. Полные включения $L^2\subset L^1$ на завершённой мере — утверждения о готовых пространствах, и они лежат на той же P4-границе, что и само завершённое $L^2$.

Скалярное произведение и неравенство Коши–Шварца

Скалярное произведение двух функций (на конечном носителе или на выборке из $N$ точек) есть $⟨f,g⟩={\sum }_{i<N}{f}_i{g}_i$, а норма — $\Vert f{\Vert }^2=⟨f,f⟩$. Это конечная сумма на каждой стадии: носитель — рациональные значения, сумма актуально конечна (P4).

Краеугольное неравенство геометрии $L^2$ — Коши–Шварца:

$$⟨f,g{⟩}^2\le \Vert f{\Vert }^2\Vert g{\Vert }^2.$$

Оно говорит, что <<косинус угла не больше единицы>>, и доказывается точно, без аксиом — через тождество Лагранжа, выражающее зазор как сумму квадратов:

$$\Vert f{\Vert }^2\Vert g{\Vert }^2-⟨f,g{⟩}^2=\frac{1}{2}\sum _{i,j}(f_i{g}_j-f_j{g}_i{)}^2\ge 0.$$

Правая часть неотрицательна как сумма квадратов рациональных величин — здесь не нужны ни полнота, ни предельный переход.⁴

Поляризация: норма помнит произведение

Скалярное произведение симметрично, $⟨f,g⟩=⟨g,f⟩$, и из него поляризацией восстанавливается вся билинейная структура: произведение выражается через одни лишь нормы,

$$⟨f,g⟩=\frac{1}{2}(\Vert f+g{\Vert }^2-\Vert f{\Vert }^2-\Vert g{\Vert }^2).$$

Это тождество — чистая конечная алгебра, и оно показывает, что геометрия $L^2$ полностью закодирована в одной норме.⁵

Коши–Шварц — чисто конечно-арифметический факт. Геометрия $L^2$ (углы, проекции, ортогональность) стоит не на завершённом пространстве, а на неотрицательности суммы квадратов — на каждой конечной стадии.

Квадратная $L^2$-дистанция и бескорневая оценка

Скалярное произведение задаёт квадрат расстояния $d^2(f,g)=\Vert f-g{\Vert }^2$. Классическая метрика $d=\sqrt{d^2}$ потребовала бы извлечь квадратный корень — а корень в ToS не число, а процесс (ℝ как RealProcess, $N\to Q$): актуализировать его как готовый объект мы не вправе. Поэтому работаем с квадратом дистанции — с той её частью, что живёт в ℚ, — и доказываем бескорневую квадратную оценку

$$d^2(f,h)\le 2d^2(f,g)+2d^2(g,h),$$

зазор которой есть сумма квадратов ${\sum }_i(f_i-2g_i+h_i{)}^2\ge 0$, доказанная точно и без аксиом.⁶

Важная оговорка. Доказано не классическое треугольное неравенство $d(f,h)\le d(f,g)+d(g,h)$, а его бескорневой квадратный заместитель, достаточный для энергетического контроля (оценок через квадрат нормы). Полная метрика получается извлечением корня — то есть переходом к вещественному / process-real слою; в ℚ-части, которую мы удерживаем, корня нет. Это та же дисциплина, что в Главах 6.1–6.4: считать в рациональном, не превращая корень в готовое число.

Наилучшее приближение: проекция, Пифагор, Бессель

Ортонормированная (ОН) система — семейство $\{e_k\}$ с $⟨e_i,e_j⟩=1$ при $i=j$ и $0$ иначе. Проекция функции $f$ на первые $K$ направлений — сумма $P_{K}f={\sum }_{k<K}{c}_k{e}_k$ с коэффициентами $c_k=⟨e_k,f⟩$; остаток — $r_K=f-P_{K}f$. Сердцевина теории — тождество нормы остатка:

$$\Vert r_K{\Vert }^2=\Vert f{\Vert }^2-\sum _{k<K}{c}_k^2.$$

Доказывается оно индукцией по $K$ и опирается на линейность скалярного произведения по конечному разложению $⟨h,{\sum }_{k<K}{c}_k{e}_k⟩={\sum }_{k<K}{c}_k⟨h,e_k⟩$ — а это перестановка двойной конечной суммы, дискретный аналог теоремы Фубини из Главы 5.7 (конец Части V), — плюс ортогональность.⁷

Для одного единичного направления тождество принимает вид теоремы Пифагора:

$$\Vert f{\Vert }^2=⟨e,f{⟩}^2+\Vert f-⟨e,f⟩e{\Vert }^2,$$

то есть энергия раскладывается на долю вдоль $e$ и энергию остатка, а остаток ортогонален $e$. Геометрически: проекция отщепляет ортогональную составляющую, и коэффициент $c=⟨e,f⟩$ — ровно та доля, что лежит вдоль направления.⁸

Из неотрицательности $\Vert r_K{\Vert }^2\ge 0$ немедленно следует общее неравенство Бесселя:

$$\sum _{k<K}{c}_k^2\le \Vert f{\Vert }^2(\text{для любой ОН-системы и любого }K).$$

Энергия, собранная по $K$ направлениям, не превосходит полной энергии $\Vert f{\Vert }^2$: проекция не создаёт энергии, лишь перераспределяет её.⁹

Парсеваль: конечный критерий полноты

Равенство в Бесселе — равенство Парсеваля — наступает ровно тогда, когда остаток исчезает:

$$\sum _{k<K}{c}_k^2=\Vert f{\Vert }^2⟺\Vert r_K{\Vert }^2=0⟺\text{разложение точно восстанавливает }f.$$

Последняя эквивалентность держится потому, что над ℚ конечная сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда нуль каждое слагаемое.¹⁰

Что здесь означает <<полнота>>. Строго: при фиксированном усечении на $N$ координат первые $K$ направлений восстанавливают каждую координату $m<N$. Это конечный критерий полноты данного разложения на данном усечении — а не утверждение о завершённом бесконечном ортонормированном базисе. Парсеваль держится ровно для тех систем, что исчерпывают вектор на этом $N$; бесконечный базис ($K,N\to \infty$) и безусловное равенство для завершённого ОНБ — роль-предел (P4).

Рисс–Фишер: полнота по построению

Полнота — сердце теоремы Рисса–Фишера: всякая $L^2$-Коши-последовательность $\{f_n\}$ имеет предел в $L^2$. Классически предел — готовая функция, добытая выбором подпоследовательности и пределом почти всюду. ToS строит его, и притом без всякого выбора.

Движок построения — неравенство <<одна координата не больше нормы>>: для каждого $i<N$ выполнено $(a_i{)}^2\le \Vert a{\Vert }^2$ (одно слагаемое не больше суммы неотрицательных). Отсюда: если $\{f_n\}$ есть Коши в $L^2$-норме, то каждая координата $(f_n(i){)}_n$ есть Коши-последовательность в ℚ. А Коши-последовательность в ℚ — это в точности определение вещественного как процесса (RealProcess, $N\to Q$). Значит, предел строится покоординатно — координата $i$ есть вещественное-процесс

$$f_{\infty }(i):=(n\mapsto f_n(i)).$$

{ Никакого выбора: предел — это сама последовательность, перечитанная как вектор вещественных-процессов. Тогда сходимость <<$\Vert f_n-f_{\infty }{\Vert }_2\to 0$>> разворачивается в само условие Коши: стадия-$s$ рациональное приближение предела $f_{\infty }$ есть в точности $f_s$.¹¹}

Полнота $L^2$ — не существование предела, а его конструируемость. Предел не <<выбирается>> из завершённого пространства (Цорн, AC), а строится как процесс из самой последовательности.

{Честная граница (важнейшая оговорка главы). Доказанная теорема работает при фиксированном конечном усечении $N$: квадрат нормы есть конечная сумма по $N$ координатам, и из $L^2$-Коши в этой конечной норме строится покоординатный предел-процесс — это конструктивное ядро Рисса–Фишера. Полная бесконечномерная теорема Рисса–Фишера для завершённого ${\ell }^2/L^2$, где норма содержит сумму по всем координатам ($N\to \infty$), и предел как отдельный завершённый вещественный объект — остаётся роль-пределом / P4-границей. Мы строим ядро; завершённое бесконечномерное пространство — метим.}

E/R/R-разбор: $L^2$-пространство как система

Разбор в порождающем порядке

Каркас системы был задан в начале (§ «E/R/R-каркас главы»); здесь разворачиваем его с таблицей и проверкой корректности (well-formedness). Оговорка об уровне прежняя: <<пространство>> здесь — содержательная интерпретация процессного носителя, а не буквально типизированный объект System. Ведём разбор в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Геометрия скалярного произведения: Коши–Шварц, поляризация, бескорневая квадратная оценка дистанции, наилучшее приближение (Пифагор), общее неравенство Бесселя, конечный критерий Парсеваля. И — правило полноты: полнота есть конструируемость предела-процесса (Рисс–Фишер по построению, при фиксированном $N$). Универсальный слой — L1–L5 и P4, выносящий завершённый ОНБ и бесконечномерное ${\ell }^2$ за границу.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). Скалярное произведение $⟨f,g⟩$ — роль-спаривание, несущее геометрию. Норма $\Vert f\Vert$ — роль-величина (энергия). Коэффициент $c_k=⟨e_k,f⟩$ — роль-координата (проекция на направление). Предел $f_{\infty }$ — роль-предел: хвост последовательности, перечитанный как вектор вещественных-процессов. Полнота — роль-свойство системы: конструируемость предела, а не его выбор.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Носители конечны на каждой стадии: рациональные значения $f_i$, конечные суммы ${\sum }_{i<N}$ и ${\sum }_{k<K}$, коэффициенты $c_k$. Завершённое ${\ell }^2$, завершённый ортобазис, предел как готовое вещественное и сумма по всем координатам ($N\to \infty$) — к элементам не принадлежат.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
Коши–Шварц; бескорневая оценка; Пифагор / Бессель; Парсеваль-критерий; полнота как конструируемость	КАК организована геометрия и полнота $L^2$	Rules ($L5$)
скалярное произведение; норма; координата $c_k$; предел $f_{\infty }$	ЗАЧЕМ значимы носители: роли геометрии и предела	Roles ($L4$)
значения $f_i$; суммы ${\sum }_{i<N},{\sum }_{k<K}$; коэффициенты $c_k$ (конечно, при данном $N$)	ЧТО есть на каждой стадии (P4)	Elements ($L1$, P4)

Разбор корректен: каждый компонент попадает ровно в одну категорию, ни один не ссылается на себя (P1). Скалярное произведение и норма — роли над элементами-значениями, а не сами элементы; полнота — правило, а не объект; завершённое ${\ell }^2$ — вне элементов.

Что даёт разбор

{ Разбор показывает, что $L^2$ в ToS — не завершённое гильбертово пространство, а процессная геометрия при фиксированном конечном $N$: правила (Коши–Шварц, бескорневая дистанция, наилучшее приближение, Бессель, Парсеваль) доказаны на конечных стадиях без аксиом, а полнота прочитана как конструируемость предела — его строят покоординатно, а не выбирают. Бесконечность — завершённый базис, бесконечномерное ${\ell }^2$, сумма по всем координатам — честно вынесена на границу P4 и помечена как роль-предел. Это та же линия честности, что в Главах 6.1–6.4: инфинитарный шаг не прячут в готовый объект, а называют и ставят на границу.}

Получив пространство со скалярным произведением, квадратной дистанцией, наилучшим приближением, ортонормированными разложениями и полнотой-по-построению, мы готовы к его операторам. Следующая глава вводит самосопряжённые операторы на $L^2$, их спектр и ортогональность собственных направлений — и доводит линию до канонического коммутатора, гармонического осциллятора и эволюции Шрёдингера, через которые $L^2$-аппарат становится мостом в квантовую механику (физический том).

---

---

Часть: Часть VI. Меры и интегрирование · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 4. Теоремы сходимости: монотонная и мажорированная · Глава 6. Операторы на L^2: самосопряжённость, спектр и мост в квантовую динамику →

Footnotes

1. Опорные файлы каталога src/process/ Rocq-репозитория ToS: ProcessL2CauchySchwarz.v, ProcessL2Triangle.v, ProcessL2Bessel.v, ProcessL2BesselGeneral.v, ProcessL2Parseval.v, ProcessL2RieszFischer.v; их связки — в ProcessL2HilbertSynthesis.v. По шапкам этих файлов и синтез-файлу кластера — 0 аксиом; для полного аудита у ключевых теорем стоит Print Assumptions. Имена теорем — в сносках ниже. ↩

2. Файл L1Space.v (каталог analysis/, 25 Qed по шапке): L1Process (представители), step_fun_norm, l1_integral_approx, l1_equiv ($\Vert f-g{\Vert }_1\to 0$), step_to_l1. Разбор — Глава 6.3. ↩

3. Прямое следствие q_sum_cauchy_schwarz в ProcessL2CauchySchwarz.v (0 аксиом) с $g\equiv 1$. Записано в квадратной форме — множитель $\sqrt{N}$ возник бы лишь после извлечения корня, то есть после перехода к процессу-ℝ. ↩

4. q_sum_cauchy_schwarz и l2_cauchy_schwarz в ProcessL2CauchySchwarz.v (0 аксиом); опорные факты — неотрицательность квадрата q_sq_nonneg и тождество Лагранжа sos_identity. ↩

5. Симметрия l2_inner_sym и разложение квадрата нормы l2_inner_expand в ProcessL2CauchySchwarz.v (0 аксиом); поляризация — их прямое следствие. ↩

6. l2_dist_sq_triangle в ProcessL2Triangle.v (0 аксиом); квадрат расстояния l2_dist_sq, его симметрия и неотрицательность; зазор — через q_sq_nonneg, применённую к составному квадрату. ↩

7. Линейность по разложению — inner_proj_swap в ProcessL2BesselGeneral.v (через перестановку сумм q_sum_swap); ортогональность проекции — proj_ortho; тождество остатка для одного направления — seq_inner_residual_identity в ProcessL2Bessel.v. Всё — 0 аксиом. ↩

8. pythagoras_one и bessel_one в ProcessL2Bessel.v (0 аксиом). ↩

9. bessel_general в ProcessL2BesselGeneral.v (0 аксиом): из тождества остатка resid_norm и неотрицательности суммы квадратов. ↩

10. parseval_iff_complete в ProcessL2Parseval.v (0 аксиом): energy_split $\sum c_k^2+\Vert r_K{\Vert }^2=\Vert f{\Vert }^2$, parseval_iff_resid_zero, и лемма q_sum_sq_zero (сумма квадратов нулевая $\Rightarrow$ каждое слагаемое нулевое, через целостность умножения в ℚ). Конкретный свидетель достижимости равенства — parseval_std_concrete (стандартный базис). ↩

11. coord_sq_le_normsq, l2cauchy_coord_cauchy, l2_limit и l2_riesz_fischer в ProcessL2RieszFischer.v (0 аксиом). Конкретный свидетель — const_l2cauchy. ↩