Глава 3. Измеримые функции и интеграл Лебега

Где стоит глава

От множеств к функциям

Главы 6.1 и 6.2 строили меру: правило $\mu (A)=I({\chi }_A)$, инвариантность, множества меры нуль. Но мера интервала уже была получена как интеграл индикатора — значит интеграл первичен, а мера производна. Настоящая глава возвращается к интегралу и расширяет его с индикаторов на произвольные интегрируемые функции, попутно проясняя, что значит <<функция измерима>>, что значит <<почти всюду>> и как интеграл Лебега соотносится с интегралом Римана из Части V.

Два определения измеримости

Учебник определяет измеримую функцию через прообраз: $f$ измерима, если прообраз $f^{-1}(U)$ всякого открытого $U$ измерим. Это определение наследует все предпосылки учебниковой меры — завершённую $\sigma$-алгебру, в которой прообразы должны лежать.

ToS, как и с мерой, идёт за Бишопом–Ченом и определяет не прообраз-измеримую, а интегрируемую функцию: ту, что есть предел ступенчатых функций по норме $\Vert \cdot {\Vert }_1$. Это прямое продолжение <<измеримое $=$ различимое>>: функция интегрируема, когда её можно сколь угодно точно приблизить конечными ступенчатыми данными — так же, как множество измеримо, когда различим его индикатор.

Интегрируемая функция — не объект с измеримыми прообразами, а процесс ступенчатых приближений, сходящийся по интегральной норме.

Прообраз-измеримость мы введём в § «Прообраз-измеримость — классическое сравнение» как классическое сравнение; спина изложения идёт за интегрируемостью. И снова держим три уровня строгости: доказано без аксиом — ступенчатый интеграл и его свойства, интеграл-процесс на ограниченных функциях, L¹-интеграл как предел и его классы (равенство почти всюду); остаётся содержательным чтением либо классическим сравнением — прообраз-измеримость, совпадение Лебега с Риманом за пределами ступенчатого уровня и полностью поточечное <<почти всюду>>.

E/R/R-каркас главы

Зададим каркас в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements; полный разбор — в § «Разбор в порождающем порядке». Глава вводит систему интеграла Лебега.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). Интеграл ступенчатой функции (точная сумма $\sum v_i{w}_i$) и его свойства; $L^1$-пополнение (интегрируемая функция есть Коши-последовательность ступенчатых по $\Vert \cdot {\Vert }_1$); отождествление почти всюду ($\Vert f-g{\Vert }_1\to 0$).

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). <<Интегрируемая функция>> — роль процесса ступенчатых приближений ($L^1$-класс); <<интеграл>> — роль-предел сумм; <<почти всюду>> — роль-режим, гасящий различия нулевой нормы; <<измеримость>> — роль различимости.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Ступенчатые функции, их точные интегралы $\sum v_i{w}_i$, члены приближающей последовательности; завершённая функция-предел и готовое $L^1$ — вне элементов.

Ступенчатая функция и её интеграл

Кирпич всей конструкции — ступенчатая функция: конечный список ступеней, каждая со своим значением на своём интервале. Её интеграл точен и не требует предела — это конечная сумма площадей ${\sum }_i{v}_i\cdot w_i$ (значение на ширину), вычисляемая в рациональной арифметике.¹

На этом конечном уровне интеграл уже обладает всеми ожидаемыми свойствами, и все они доказаны как точные тождества: аддитивность по конкатенации (интеграл объединённого списка ступеней есть сумма интегралов слагаемых), однородность (вынос постоянного множителя) и монотонность (если одна ступенчатая функция всюду не больше другой, то и её интеграл не больше).² Здесь нет ни аксиом, ни предельных переходов — только конечная рациональная арифметика. Это тот же мотив, что и у меры интервала: на ступенчатом уровне <<свойства интеграла>> суть теоремы о конструкции.

Интеграл Лебега как процесс накопления

На ограниченной функции интеграл естественно читать как процесс накопления: на каждой стадии $n$ — конечная ступенчатая сумма, а сам интеграл — предел этих сумм, последовательность рациональных приближений, а не завершённое число. В процессном слое кода этот интеграл-процесс совпадает с римановым — и совпадает не случайно: <<процесс Лебега>> там попросту определён как процесс Римана, так что их эквивалентность есть тождество по определению, а не отдельная содержательная теорема.³

Подлинная сила Лебега — интегрировать функции, недоступные римановой сетке, — живёт не в другом процессе накопления, а в другом понятии интегрируемой функции: в приближаемости ступенчатыми по норме $\Vert \cdot {\Vert }_1$.

Именно к этому понятию — интегрируемая функция как L¹-предел ступенчатых — мы и переходим; оно и есть точный маршрут ToS. Совпадение же Лебега с Риманом на ступенчатом уровне доказано точно (вложение step_to_l1); для более широкого класса <<хороших>> функций оно остаётся ожидаемой следующей теоремой, а не опорным результатом этой главы.

Интегрируемая функция как предел ступенчатых

Теперь точное определение. Интегрируемая функция — это Коши-последовательность ступенчатых функций по норме $\Vert \cdot {\Vert }_1$ (интеграл модуля): последовательность $f_n$ ступенчатых функций, у которой $\Vert f_n-f_m{\Vert }_1$ становится сколь угодно малым.⁴ Её интеграл — предел интегралов приближающих ступенчатых функций; он определён как процесс и доказуемо устойчив.⁵

Пополнение встроено в самый тип: L¹-объект уже является Коши-процессом ступенчатых функций, так что представители пополнения строятся напрямую — это не отдельная доказанная теорема Рисс–Фишера о готовом фактор-пространстве, а способ строить пополнение по построению.

Это та же переформулировка полноты, что прошла через Часть V: полнота — не существование завершённого предела в готовом пространстве, а конструируемость предела-процесса. Интегрируемая функция не <<лежит>> в заранее данном L¹; она и есть процесс, а L¹ — тип таких процессов, рассматриваемых с точностью до равенства почти всюду (§ «Почти всюду и классы»).

Прообраз-измеримость — классическое сравнение

Вернёмся к учебниковому определению. Измеримость через прообраз — $f^{-1}(U)$ измеримо для всякого открытого $U$ — мощна и привычна, но в нашем порядке она не основание, а альтернативный маршрут. Чтобы говорить о прообразах всех открытых множеств, нужна завершённая $\sigma$-алгебра, которой ToS не строит (§ (см. соответствующую главу) Главы 6.2). Поэтому прообраз-измеримость вводится как классическое сравнение, а спина идёт за интегрируемостью.

Связь между двумя понятиями содержательна: для <<хороших>> функций они совпадают, и прообраз-измеримость — удобный критерий там, где он применим. Но определяющим в ToS служит интегрируемость — приближаемость ступенчатыми функциями, — ровно потому, что она конструктивна и не требует завершённой совокупности прообразов.⁶

Почти всюду и классы

Последний кирпич — отношение <<почти всюду>>. Две интегрируемые функции естественно отождествить, если они различаются на множестве меры нуль: интеграл их разности тогда не чувствует различия. В процессном прочтении это выражается без всякой завершённой <<меры нуль как объекта>>: две L¹-функции эквивалентны, если интеграл модуля их разности сходится к нулю — то есть $\Vert f-g{\Vert }_1\to 0$.⁷

<<Почти всюду>> — это режим отождествления, а не свойство точек. Функция в L¹ — не отдельный поточечный объект, а класс функций, неразличимых по интегральной норме; различия на множестве меры нуль гасятся, как несущественные.

Это прямая перекличка со сквозным мотивом тома. Рациональное число было классом дробей (Глава 3.2, отношение $Q$-равенства); точка континуума — классом сходящихся процессов (Глава 4.3); теперь интегрируемая функция — класс функций, равных почти всюду. Всякий раз класс — это режим, в котором система объявляет несущественными те различия, что не влияют на её правило (равенство дробей, эквивалентность процессов, нулевую норму разности). Это и есть мотив M3: игнорирование различий, не значимых для системы. Как и в Главе 4.3, формально заданы представители (тип L¹-процессов) и отношение эквивалентности ($\Vert f-g{\Vert }_1\to 0$), но отдельный фактор-тип L¹-классов не строится — класс остаётся режимом чтения, а не построенным объектом.

E/R/R-разбор: интеграл как Правило, функция как Роль

Разбор в порождающем порядке

Каркас задан в начале главы (§ «E/R/R-каркас главы»); здесь разворачиваем его с таблицей и проверкой корректности. Разберём систему интеграла Лебега в терминах E/R/R, продолжая разборы Глав 6.1–6.2. Оговорка об уровне прежняя: <<система интеграла>> — содержательная интерпретация конструкции. Ведём разбор в порождающем порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements.

Rules (Правила, $\leftrightarrow$ L5). В основании — интеграл ступенчатой функции (точная сумма $\sum v_i{w}_i$) и его свойства (аддитивность, однородность, монотонность). Над ним — правило L¹-пополнения (интегрируемая функция есть Коши-последовательность ступенчатых по $\Vert \cdot {\Vert }_1$); правило отождествления почти всюду ($\Vert f-g{\Vert }_1\to 0$); совпадение интеграла-процесса с римановым (на ограниченных функциях — по определению). Универсальный слой — L1–L5 и P4.

Roles (Роли, $\leftrightarrow$ L4). <<Интегрируемая функция>> — роль процесса ступенчатых приближений (L¹-класс), а не прообраз-объект. <<Интеграл функции>> — роль-предел процесса ступенчатых сумм. <<Почти всюду>> — роль-режим, гасящий различия нулевой нормы (M3). <<Измеримость>> — роль различимости, продолженная с множеств на функции.

Elements (Элементы, $\leftrightarrow$ L1$+$P4). Носители конечны на каждой стадии: ступенчатые функции, их точные интегралы $\sum v_i{w}_i$, члены приближающей последовательности. Завершённая функция-предел и завершённое L¹ как готовая плерома — к элементам не принадлежат; актуальны лишь конечные приближения.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
интеграл ступенчатой; L¹-пополнение; $\Vert f-g{\Vert }_1\to 0$	КАК организовано интегрирование и отождествление	Rules ($L5$)
интегрируемая функция (L¹-класс); интеграл; <<почти всюду>>	ЗАЧЕМ значимы носители: роли-процессы	Roles ($L4$)
ступенчатые функции; $\sum v_i{w}_i$; члены приближения	ЧТО есть на каждой стадии (конечно, P4)	Elements ($L1$, P4)

Что даёт разбор

{ Разбор фиксирует две вещи. Первое: интегрируемая функция есть Роль — процесс ступенчатых приближений, читаемый с точностью до равенства почти всюду, — а не прообраз-объект в завершённой $\sigma$-алгебре. Брать её за поточечный объект с измеримыми прообразами значит подменять роль-процесс готовым элементом — то же смешение категорий, что и в прочих главах. Второе: <<почти всюду>> — режим M3, третье воплощение класса-как-роли после рационального (Глава 3.2) и точки (Глава 4.3); система гасит различия, не влияющие на её правило ($\Vert f-g{\Vert }_1=0$), ровно как гасила различия дробей ($Q$-равенство) и процессов (эквивалентность).}

Доказанная часть — ступенчатый интеграл и его свойства, интеграл Лебега как процесс, совпадение с Риманом, L¹-интеграл как предел и его классы — даёт прочную основу для следующего шага. Следующая глава ставит вопрос о пределе под интегралом: когда интеграл предела равен пределу интегралов — теоремы о монотонной и мажорированной сходимости, где доменно-явная мажоранта (Глава 6.1) несёт всю конструктивную нагрузку.

---

---

Часть: Часть VI. Меры и интегрирование · Том: «Математика»

Навигация: ← Глава 2. Мера Лебега на процессном континууме · Глава 4. Теоремы сходимости: монотонная и мажорированная →

Footnotes

1. Тип ступенчатой функции и step_integral (площадь одной ступени), step_fun_integral (сумма) в StepIntegral.v (каталог src/analysis/, 20 доказанных утверждений, 0 Admitted, 0 аксиом). ↩

2. integral_app (аддитивность по конкатенации), integral_scale (однородность), integral_monotone_step (монотонность) в StepIntegral.v; step_integral_nonneg. ↩

3. В ProcessLebesgue.v (каталог src/process/) lebesgue_process определён как riemann_process, а lebesgue_riemann_equiv доказывает их process_equiv как тождество. Это процессное отождествление, а не отдельная ценностно-слойная конструкция Лебега. ↩

4. Тип L1Process и норма step_fun_norm в L1Space.v (каталог src/analysis/, 25 доказанных утверждений, 0 Admitted, 0 аксиом). ↩

5. l1_integral_approx — интеграл L¹-функции как приближающий процесс; step_to_l1 — вложение ступенчатой функции в L¹; l1_constant_integral. ↩

6. Процессный предикат различимости функции на стадии $n$ — measurable_at в ProcessMeasureTheory.v; отдельный тип <<прообраз-измеримой функции>> в текущем корпусе не строится и подаётся как классическое сравнение. ↩

7. l1_equiv в L1Space.v: $\forall \epsilon >0\exists N\forall n\ge N:\Vert f_n-g_n{\Vert }_1<\epsilon$. Это L¹-смысл равенства почти всюду; полностью поточечное <<различаются лишь на множестве меры нуль>> — содержательное чтение поверх этого ядра. ↩