Глава 2. Рациональные числа

Откуда разворачивается соразмерная разметка

Что дала и чего не дала предыдущая глава

Глава III.1 прошла целые числа — координатную разметку, развернувшуюся из акта различения, взятого как направленное движение от опоры. Разметка эта двусторонняя: позиции лежат по обе стороны выбранной опоры.

Но шаг этой разметки — целый и неделимый в том режиме, в каком целые числа разметку и ведут. Опора, один шаг, два, три; в режиме целочисленной разметки между опорой и позицией $+ 1$ нет ни одной отмеченной точки. И это не потому, что там невозможно различение, — а потому, что данный режим разметки внутренних отметок шага не задаёт: целые числа размечают шагом как неделимой мерой, и о позиции между двумя соседними целыми сказать им, оставаясь в их режиме, нечего. Это не изъян целых чисел — они размечают ровно то, что размечают, и размечают безупречно. Но координатная разметка несёт в себе ещё одну сторону, ещё один режим, которого целые числа не коснулись.

Настоящая глава возьмёт акт различения с этой ещё не пройденной стороны и проследит, что из него разворачивается. Так получатся рациональные числа — и получатся, как и целые, не восполнением нехватки, а прослеживанием того, что в акте различения уже заложено.

Акт различения, взятый внутрь шага

Целые числа отвечали на вопрос: по какую сторону опоры и на сколько целых шагов взята позиция. Возьмём теперь иной вопрос — не вне шага, а внутри него. Что лежит между опорой и позицией $+ 1$ ? Что значит половина шага, треть шага, две пятых шага?

Спросить так — значит совершить акт различения внутри шага. До сих пор шаг был неделимой мерой: разметка двигалась по нему, не заглядывая внутрь. Но различить точку между опорой и позицией $+ 1$ — это такой же акт различения, как всякий: провести границу, отделить одно от другого. Совершив его, мы отмечаем внутри шага точку, которой прежде не было в разметке.

И как только эта точка отмечена, разворачивается ещё одна сторона разметки. Не двусторонность — двусторонность дали целые числа. Разворачивается соразмерность: возможность вести разметку шагом дробным, меньшим целого, и говорить о позициях, лежащих между целыми. Рациональное число есть позиция в такой — соразмерной — разметке.

Соразмерная разметка получается, а не вводится

Стоит назвать прямо, в каком модусе глава здесь движется, ибо это тот же модус, что и в главе о целых числах.

Соразмерную разметку можно мотивировать и привычным образом — как расширение, в котором деление становится выполнимым: в целых числах не всякое деление проходит нацело ( $7$ не делится на $3$ ), и дроби эту выполнимость доставляют. Такая мотивация не ложна, и глава её не отвергает. Но в ToS она не первична. Первичный мотив здесь не отрицательный — не <<в целых числах чего-то не хватает>>, — а положительный: акт различения берётся внутрь шага, и тем самым разворачивается соразмерная разметка. ToS прослеживает, что разворачивается из акта различения, взятого внутрь шага, — и видит, что разворачивается разметка дробным шагом. То, что в этой разметке деление оказывается выполнимым, — прибыль такого разворачивания, его следствие, а не задача, поставленная заранее. Целые числа при этом ни в чём не ущербны: они размечают целым шагом и размечают его безупречно. Просто целый шаг — не единственное, что разворачивается из акта различения; разворачивается и дробный, коль скоро акт различения совершается внутри шага.

Целые числа дали разметку с целым, неделимым шагом. Акт различения, совершённый внутри шага — различение точки между опорой и соседней целой позицией, — разворачивает соразмерную разметку: разметку дробным шагом, в которой осмысленны позиции между целыми. Рациональное число есть позиция в соразмерной разметке. Первичный мотив здесь положительный — акт различения, взятый внутрь шага, — а выполнимость деления есть прибыль этого разворачивания, не задача, поставленная заранее.

Что предстоит главе

Соразмерная разметка развернулась; дальше нужно пройти её устройство. И первое, что требует разбора, — сама соразмерность: что это за отношение, которым дробный шаг связан с целым. С него глава и начинает.

Что такое соразмерность

Соразмерность есть отношение кратностей

Соразмерная разметка развернулась из акта различения, взятого внутрь шага (§ 2.1). Теперь нужно сказать точно, что такое сама соразмерность — то отношение, которым дробный шаг связан с целым.

Соразмерность двух шагов есть отношение их кратностей — указание, сколько шагов одного рода составляют сколько шагов другого. Разберём дробь $p / q$ по составляющим — и разберём точно, ибо $p / q$ можно прочесть двояко, и два прочтения важно не смешать.

Первое прочтение — позиционное, и в этой главе оно основное. Для позиции $p / q$ знаменатель $q$ задаёт масштаб: единичный шаг делится на $q$ равных частей, и новый малый шаг равен $1/ q$ прежнего. Числитель $p$ говорит, сколько таких малых шагов взято. Тогда $p / q$ есть позиция, полученная $p$ -кратным повторением малого шага $1/ q$ :

\frac{p}{q} = p \cdot \frac{1}{q} .

Знак показывает сторону относительно опоры. Так, $2/5$ — позиция, полученная двукратным повторением шага $1/5$ : единичный шаг разделён на пять частей, и взято две.

Второе прочтение — $p / q$ как новый шаг: шаг, который при $q$ -кратном повторении даёт $p$ прежних шагов. Оба прочтения согласованы — они описывают одну соразмерность с разных сторон, — но в настоящей главе основным будет позиционное: $p / q$ есть прежде всего позиция в соразмерной разметке, а не новый шаг.

Сведём составляющие позиции $p / q$ в таблицу:

Компонент	Смысл
знак	сторона относительно опоры
$q$	масштаб: на сколько равных частей делится единичный шаг
$1/ q$	малый шаг — $q$ -я часть единичного
$p$	число малых шагов, взятых от опоры
$p / q$	позиция в соразмерной разметке: $p$ -кратное $1/ q$

Рациональное число и есть позиция в разметке, ведённой соразмерным шагом $1/ q$ . Позиция $2/5$ — точка, отстоящая от опоры на два малых шага, каждый из которых есть пятая часть единичного. Соразмерность связывает две разметки — прежнюю и более тонкую — отношением их шагов.

Соразмерность требует, чтобы шаг был системой

Здесь — онтологический узел всей главы, и пройти его нужно медленно.

Соразмерность $p / q$ говорит о делении прежнего шага на $q$ частей. Но разделить нечто на части можно лишь тогда, когда у этого нечто есть внутреннее устройство, есть на что делить. Если шаг взят как атом — как нечто, не имеющее внутренних различий, — то делить его не на что: внутри атома нет частей, нет границ, по которым прошло бы деление. <<Треть атома>> бессмысленна не потому, что запрещена, а потому, что атом по определению есть то, внутри чего различений нет.

Соразмерность, стало быть, имеет смысл лишь там, где шаг взят как система — как нечто, открытое для внутренних различений. Тогда <<треть шага>> осмысленна: это более тонкое различение внутри шага, граница, проведённая там, где прежде границы не было. Но здесь нужна точность: одних только новых границ ещё недостаточно. Деление шага на $q$ частей требует $q - 1$ новых актов различения внутри него — но $q - 1$ границ, поставленных как попало, разделили бы шаг на части произвольные, неравные. Рациональная соразмерность требует большего: чтобы все $q$ полученных частей были равны — были одним и тем же малым шагом. Поэтому к $q - 1$ границам нужно добавить правило равномерности: части, отсекаемые границами, суть один и тот же повторяемый шаг $1/ q$ . Без этого правила вышло бы просто разбиение отрезка на куски, а не рациональная разметка. Рациональность — это не <<внутри шага есть точки>>, а <<точки порождены повторяемым равным малым шагом>>: $q - 1$ границ плюс равномерность, плюс удержанный порядок частей. Совершить такое деление можно лишь если шаг есть система, способная эти различения вместить.

Это — работа того же различения уровней, которое ToS проводит повсюду. Один и тот же шаг может быть взят как атом — и тогда он неделим — и как система — и тогда делим. Какой уровень рассмотрения выбрать, решает задача. Целые числа (Глава III.1) брали шаг как атом: для разметки целыми позициями внутреннее устройство шага не нужно, и шаг там неделим. Рациональные числа берут шаг как систему: соразмерная разметка и есть разметка, в которой шаг открыт для внутренних различений.

Соразмерность двух шагов есть отношение их кратностей: позиция $p / q$ есть $p$ -кратное повторение малого шага $1/ q$ . Соразмерность имеет смысл лишь там, где шаг взят как система — как нечто, открытое для внутренних различений. Деление шага на $q$ равных частей требует не только $q - 1$ новых границ, но и правила равномерности: все части суть один и тот же малый шаг. Шаг, взятый как атом, неделим: внутри атома нет границ, по которым прошло бы деление. Соразмерная разметка есть разметка, в которой шаг взят системой, а не атомом.

Что предстоит уточнить

Сказанное опирается на то, что один и тот же шаг — и, в частности, сама единица разметки — может быть взят то атомом, то системой. Но единицу Часть II установила как первый акт различения, как атом. Нет ли здесь противоречия? Этот вопрос — о двойном статусе единицы — встаёт следующим.

Двойной статус единицы

Кажущееся противоречие

Соразмерность требует, чтобы шаг был взят как система — как нечто, открытое для внутренних различений (§ 2.2). В частности, она требует этого от единицы разметки: говорить о трети единицы, о двух пятых единицы можно лишь тогда, когда единица делима, когда внутри неё есть на что делить.

Но Часть II установила о единице иное. Глава II.1 показала: единица есть сам первый акт различения. Первый акт — это то, чем начинается всякое различение, и внутри него различений нет: он сам есть граница, проводящая различие, а не нечто, по чему граница проходит. В этом смысле единица Части II атомарна: <<треть первого акта>> бессмысленна так же, как <<треть атома>> вообще (§ 2.2).

Один и тот же символ — << $1$ >> — оказывается, стало быть, то атомом, то системой. В Части II единица неделима; в настоящей главе единица делится на любое число частей. Не противоречит ли Часть III тому, что установила Часть II, — и самой себе?

Два уровня рассмотрения единицы

Противоречия нет, и оно снимается тем же различением, каким глава о целых числах сняла кажущееся противоречие о нуле (Глава III.1, § 1.4). Знак << $1$ >> работает на двух разных уровнях рассмотрения, и на каждом несёт свой статус.

На уровне счёта единица есть первый акт различения. Вопрос здесь — сколько актов совершено; единица есть ответ <<один акт>>, и акт этот атомарен: он есть граница различения, и делить его не на что. Так установила единицу Часть II, и Часть III этого не отменяет.

На уровне соразмерной разметки единица есть иное — не акт, а отрезок. Это единичный отрезок разметки, промежуток от опоры до позиции $+ 1$ . И отрезок этот есть система: внутри него можно проводить различения — отмечать точки, лежащие между его концами. На этом уровне единица делима, и <<треть единицы>> осмысленна: это точка, отмеченная внутри единичного отрезка актом более тонкого различения.

Один знак, два уровня, два статуса. На уровне счёта << $1$ >> — первый акт, атом. На уровне разметки << $1$ >> — единичный отрезок, система. Это не два противоречащих утверждения об одном предмете, а одно наблюдение о том, что знак << $1$ >> употреблён в двух разных делах. Спросить <<так единица делима или неделима?>> значит не заметить, что вопрос недоопределён: смотря на каком уровне. В счёте — неделима. В разметке — делима.

Та же смена режима, что и для нуля

Стоит увидеть, что здесь повторяется ровно тот ход, которым Глава III.1 разобралась с нулём.

О нуле было так. В режиме счёта (Часть II) нуль есть отметка отсутствия совершённых актов. В режиме разметки (Глава III.1) нуль есть имя опоры — наличной выбранной точки. Один знак, два режима, два статуса; и Глава III.1 показала, что это не противоречие, а смена режима, которую ToS проговаривает явно.

О единице — так же. В режиме счёта единица есть первый акт, атом. В режиме разметки единица есть единичный отрезок, система. Один знак, два уровня, два статуса. И как с нулём, это не противоречие, а смена уровня рассмотрения. Координатная разметка вообще — иной режим, чем счёт: счёт спрашивает <<сколько совершено>>, разметка — <<где позиция>>. Знаки << $0$ >> и << $1$ >>, переходя из счёта в разметку, меняют вместе с режимом свой онтологический статус: нуль из отметки отсутствия становится опорой, единица из акта-атома — отрезком-системой. ToS такие смены не оставляет молчаливыми, а проговаривает; стандартная математика пользуется одними знаками в обоих режимах, не отмечая перехода, и оттого делимость единицы кажется чем-то самоочевидным, тогда как она есть свойство единицы лишь на уровне разметки.

Знак <<единица>> работает на двух уровнях. На уровне счёта (Часть II) единица есть первый акт различения — атом, неделимый. На уровне соразмерной разметки (настоящая глава) единица есть единичный отрезок — система, делимая на любое число частей. Это не противоречие, а смена уровня рассмотрения — та же, что и для нуля (Глава III.1, § 1.4): нуль из отметки отсутствия становится опорой, единица из акта-атома — отрезком-системой. ToS проговаривает переход, который стандартная математика оставляет молчаливым.

Удобно свести режимы, в которых работает знак <<единица>>, в таблицу:

Режим	Что такое <<единица>>	Делима?
счёт (Часть II)	первый акт различения	нет: атом
целая разметка (Глава III.1)	один шаг разметки	внутри не рассматривается
соразмерная разметка (эта глава)	единичный отрезок	да
поле $Q$ (§ 2.6)	мультипликативная единица	несёт обратную роль в поле

Один знак << $1$ >>, четыре режима. В счёте единица — атом; в целой разметке — шаг, внутрь которого тот режим не заглядывает; в соразмерной разметке — делимый единичный отрезок; в поле — нейтральный элемент умножения. Смешать режимы значило бы счесть делимость или неделимость единицы её безусловным свойством, тогда как она есть свойство единицы в данном режиме.

Что отсюда следует

Двойной статус единицы снят: на уровне разметки единица есть делимый отрезок, и соразмерность над нею законна. Но прежде чем строить соразмерную разметку дальше, нужно разобрать один особый случай — тот, где соразмерность затребована с нулём, со знаменателем, равным опоре. Это — деление на нуль, и о нём пойдёт следующий раздел.

Деление на нуль как структурная бессмыслица

Особый случай: знаменатель есть опора

Соразмерность $p / q$ задаёт дробный шаг через знаменатель $q$ — через то, на сколько частей разделён прежний шаг (§ 2.2). Знаменатель есть натуральное число: на две части, на три, на пять. Но что, если затребовать соразмерность, в которой знаменатель равен нулю — $p /0$ ?

Стандартная математика отвечает на это запретом: на нуль делить нельзя. Запрет верен, но в стандартном изложении он подаётся как правило — как условие, которое положено соблюдать, потому что иначе выходят парадоксы. ToS отвечает иначе и глубже: дело не в правиле, которое запрещает, а в том, что соразмерность с нулём есть структурная бессмыслица — не запрещённое действие, а отсутствие действия как такового.

Соразмерить с нулём нечего

Разберём, что означала бы соразмерность $p / q$ при $q = 0$ .

Соразмерность $p / q$ , по § 2.2, означает: новый шаг таков, что $q$ его повторений составляют $p$ прежних. Подставим $q = 0$ . Выходит: новый шаг таков, что ноль его повторений составляют $p$ прежних. Но ноль повторений есть отсутствие акта — ничего не повторено, ни одного шага не сделано. Соразмерность при $q = 0$ требовала бы задать шаг через то, чего не совершено, — определить меру, опираясь на отсутствие всякого её применения. Это не трудная задача и не запрещённая — это отсутствие задачи: задавать нечего и не из чего.

Скажем то же точнее — через уравнение соразмерности. Соразмерность $p / q$ требует найти новый шаг $u$ такой, что $q$ повторений этого шага составляют $p$ прежних шагов:

q \cdot u = p .

Здесь и нужно проверить, что станет с этим уравнением при $q = 0$ . Подставим: $0 \cdot u = p$ . И разберём два случая.

Если $p \neq = 0$ , уравнение $0 \cdot u = p$ не имеет решения: ноль повторений любого шага даёт ноль, а не $p$ ; никакой шаг $u$ условию не удовлетворяет. Соразмерности нет, ибо нет искомого шага.

Если же $p = 0$ , уравнение $0 \cdot u = 0$ выполняется для любого $u$ : всякий шаг ему удовлетворяет. И это не лучше первого случая, а та же бессмыслица с другой стороны: уравнение не выделяет никакого определённого шага, решений слишком много, мера не задана. Соразмерности снова нет — теперь не от нехватки решения, а от потери определённости.

В обоих случаях — $p \neq = 0$ и $p = 0$ — условие $q \cdot u = p$ при $q = 0$ перестаёт задавать меру: либо решения нет вовсе, либо оно не единственно и потому ничего не определяет. Знаменатель $q$ — это не координатная позиция и не опора; это число частей, на которые делится единичный шаг, число повторений малого шага. И $q = 0$ означает не <<делить опору>>, а попытку задать масштаб через нулевое число частей, — а нулевое число частей меры не задаёт. <<Делить на нуль>> не выходит за пределы разрешённого — оно не доходит и до того, чтобы быть действием: уравнение соразмерности при $q = 0$ не определяет операции.

Почему деление на нуль не <<исправляется>>

Отсюда видно и то, почему деление на нуль нельзя <<исправить>> — доопределить так, чтобы оно всё же давало результат.

Время от времени предлагают доопределить $p /0$ — объявить его равным бесконечности или особому символу. Но всякая такая попытка наталкивается на новые несообразности: если $p /0$ есть бесконечность, то чему равно $0 \cdot$ бесконечность, и так далее. В стандартном изложении это выглядит как череда технических неудобств. ToS объясняет, почему неудобства неустранимы: доопределять нечего. $p /0$ не есть недоопределённое выражение, которому недостаёт значения и которое можно доопределить удачным соглашением. Оно есть выражение, не задающее операции: соразмерность с нулём не <<пока не имеет значения>>, а не является соразмерностью вовсе. Нельзя доопределить то, что не начато; нельзя досказать несказанное предложение, в котором нет сказуемого.

Деление на нуль не исключается из рациональных чисел особым запретом, вынесенным извне. Оно само не входит в них — по той же причине, по какой соразмерность вообще требует двух наличных мер, а не одной. Условие $q \neq = 0$ в построении рациональных чисел не есть запрет; оно есть запись того, что соразмерность задаётся лишь там, где есть с чем соразмерять.

Деление на нуль в ToS не есть запрещённое правилом действие — оно есть структурная бессмыслица. Соразмерность $p / q$ требует найти шаг $u$ , для которого $q \cdot u = p$ . При $q = 0$ это уравнение перестаёт задавать меру: если $p \neq = 0$ , решения нет вовсе; если $p = 0$ , ему удовлетворяет любой шаг, и потому никакой не определён. Знаменатель есть число частей, не координатная опора. Деление на нуль не доопределяется удачным соглашением, ибо доопределять нечего: оно не задаёт операции. Условие $q \neq = 0$ есть не запрет, а запись того, что соразмерность требует двух наличных мер.

Что разобрано

Особый случай разобран: соразмерность задаётся при ненулевом знаменателе, и условие это не привнесено запретом, а вытекает из того, что есть соразмерность. В терминах E/R/R это сформированность: знаменатель-роль есть число частей, и нуль частей её не реализует (§ 2.8.3). Теперь соразмерную разметку можно записать формально — увидеть, как рациональное число предстаёт в строгой конструкции. Этим занят следующий раздел.

Формальная конструкция

Рациональные числа в стандартной библиотеке

Соразмерная разметка пройдена прозой; запишем её формально. Как и для целых чисел, ToS не строит рациональные числа заново: для них есть готовая конструкция в стандартной библиотеке Rocq, и ToS берёт её рабочим инструментом.¹

Рациональное число задаётся записью из двух полей:

Record Q : Set := Qmake {
  Qnum : Z;
  Qden : positive
}.

Два поля отвечают двум составляющим соразмерности. Поле Qnum — числитель — есть целое число: позиция в двусторонней разметке целых чисел, то, сколько прежних шагов взято и по какую сторону опоры. Поле Qden — знаменатель — есть число типа positive: на сколько частей разделён прежний шаг. Здесь стоит оговорить слово positive, чтобы не перегрузить его. Тип positive в Rocq — это технический индуктивный тип положительных целых в двоичной записи, часть стандартной библиотеки; он не есть философская <<позитивность существования>>, о которой говорила Глава III.1. Смысл его в данной записи прост и чисто конструктивный: positive не имеет нуля среди своих значений, и потому знаменатель конструктивно ненулевой. Тем условие $q \neq = 0$ (§ 2.4) оказывается встроенным в самый тип: знаменатель просто не может быть нулём, и деления на нуль формальная запись не допускает не запретом, а устройством типа. Философски это хорошо совпадает с ToS-чтением знаменателя как числа наличных частей: число частей не может быть нулём (§ 2.4), — но само совпадение не следует читать так, будто технический тип positive и онтологическая позитивность суть одно.

Равенство дробей

Одна и та же соразмерная позиция записывается разными дробями. Шаг, которого две части дают один прежний, и шаг, которого четыре части дают два прежних, — один и тот же шаг; дроби $1/2$ и $2/4$ задают одну позицию. Формально это выражено условием равенства дробей:

\frac{p}{q} = \frac{r}{s} тогда и только тогда, когда p \cdot s = r \cdot q .

Дроби $1/2$ и $2/4$ равны, ибо $1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$ . Здесь нужна техническая точность относительно того, как это устроено в Rocq. Тип Q, как показывает запись выше, — это Record: пара из числителя и знаменателя. Он не является quotient type — типом, в котором все равнозначные дроби буквально отождествлены и слиты в один объект. Записи 1#2 и 2#4 суть разные объекты типа Q — разные пары, — и по структурному равенству записей (=) они не равны. Рациональное равенство задаётся отдельным отношением эквивалентности — Qeq, которое в Rocq принято записывать знаком ==; и вот по нему, по Qeq, дроби 1#2 и 2#4 равны. Различать здесь нужно три вещи: структурное равенство записей $p / q = r / s$ как пар (= в Rocq); рациональное равенство $p / q == r / s$ , то есть $p \cdot s = r \cdot q$ (Qeq); и математическую идею класса равнозначных дробей. Стандартная библиотека реализует первое и второе раздельно: Q есть тип пар, а Qeq — отношение на нём; третье — класс эквивалентности — есть математическое прочтение, к которому Qeq даёт доступ, но не буквальное устройство типа Q.

Это условие — $p \cdot s = r \cdot q$ — и есть формальная запись того, что одна соразмерная позиция представима разными дробями. На уровне онтологии разметки рациональное число есть сама соразмерная позиция: то общее, что у всех записей $1/2, 2/4, 3/6, \dots$ , — позиция, не зависящая от того, какой дробью её записали. На уровне формальной записи Rocq это общее выражено не слиянием записей в один объект, а отношением Qeq: записи остаются разными, а равными их делает ==. Конкретная дробь — $1/2$ или $2/4$ — есть лишь одно представление; рациональная позиция есть то, что Qeq объявляет у них общим. В разборе E/R/R (§ 2.8.3) рациональное — класс-роль (по Qeq), не quotient-объект; это готовит чтение точки как класса в Главе 4.3.

Конструкция через поле дробей

Запись через числитель и знаменатель — не единственный способ задать рациональные числа. Есть и другой, более общий, и он проясняет место рациональных чисел среди прочих числовых построений.

Рациональные числа суть поле дробей целых чисел. Построение поля дробей таково: дано кольцо без делителей нуля — в нашем случае кольцо целых чисел, — и из него строится поле, элементы которого суть пары <<числитель из кольца, ненулевой знаменатель из кольца>>, взятые с тем же отождествлением равнозначных пар. Для кольца целых чисел поле дробей и есть рациональные числа.

Построение это общее: оно применимо не только к целым числам, и в части, посвящённой алгебре, оно будет пройдено в полной мере. Здесь довольно отметить, что рациональные числа — не случайная конструкция, а поле дробей вполне определённого кольца, и обе записи — через числитель и знаменатель и через поле дробей — задают один и тот же предмет. Rocq пользуется первой как вычислительно удобной; вторая указывает место рациональных чисел в общем строе алгебраических построений.

Рациональные числа ToS берёт готовыми из стандартной библиотеки Rocq: тип Q — запись (Record) из числителя Qnum (целое число) и знаменателя Qden (тип positive — технический тип положительных целых, без нуля). Ненулевость знаменателя встроена в тип: деления на нуль формальная запись не допускает устройством, а не запретом. Тип Q — не quotient type: 1#2 и 2#4 суть разные записи, равные не структурно, а по отдельному рациональному равенству Qeq (знак ==), то есть при $p \cdot s = r \cdot q$ . Рациональная позиция есть то, что Qeq объявляет общим у всех таких записей.

Что записано

Соразмерная разметка получила формальную запись. Дальше глава обращается к тому, что эта разметка даёт нового сравнительно с целыми числами, — к свойству быть полем.

Рациональные числа как поле

Что соразмерность добавляет

Соразмерная разметка построена и записана. Стоит теперь спросить, что она даёт сверх того, что давали целые числа, — в чём структурная прибыль перехода к рациональным числам.

Прибыль эта — в делении. Над целыми числами совершались сложение, вычитание, умножение, и результат всякий раз был целым числом: целые числа замкнуты относительно этих трёх действий. Но деление целое число из целых чисел выводит: разделить $7$ на $3$ в целых числах не на что — нет целой позиции, которой отвечала бы треть от семи шагов. Соразмерная разметка дала именно эту недостающую позицию: $7/3$ есть точка соразмерной разметки, отстоящая от опоры на семь шагов, делённых на три. В рациональных числах деление — на ненулевое — всегда имеет результат, и результат этот есть рациональное число.

Это структурное различие имеет точное имя. Целые числа суть кольцо; рациональные числа суть поле. Разберём, что эти два слова означают.

Кольцо и поле

Кольцо — это числовая система, в которой определены сложение, вычитание и умножение, и все три не выводят за её пределы. Целые числа суть кольцо: сумма, разность и произведение целых чисел всегда целые. Но деления среди действий кольца нет: кольцо не требует, чтобы у всякого элемента был обратный по умножению — такой, что произведение элемента на него даёт единицу. У целого числа $2$ такого обратного среди целых чисел нет: число, дающее с двойкой в произведении единицу, есть $1/2$ , а $1/2$ не целое.

Поле — это кольцо, в котором сверх трёх действий есть и четвёртое: у всякого элемента, кроме нуля, есть обратный по умножению, и потому деление на всякий ненулевой элемент выполнимо. Рациональные числа суть поле: у всякого ненулевого рационального числа $p / q$ есть обратное по умножению — $q / p$ , — и произведение их есть единица.

Переход от кольца к полю и есть структурная прибыль соразмерной разметки. Целые числа — кольцо, ибо размечают целым шагом, и обратное по умножению целому числу в целые позиции, вообще говоря, не попадает. Рациональные числа — поле, ибо размечают шагом соразмерным, и обратное по умножению всегда находит себе соразмерную позицию. Поле есть кольцо, в котором соразмерность сделала деление всюду — кроме нуля — выполнимым.

Обратный элемент существует позитивно

Об обратном по умножению элементе нужно сказать отдельно — ровно то, что глава о целых числах сказала о противоположном элементе (Глава III.1, § 1.7).

Обратный по умножению к ненулевому рациональному числу $p / q$ математически записывается как $q / p$ — числитель и знаменатель меняются местами. Здесь нужна техническая оговорка о знаке. В $Q$ числитель может быть отрицательным (поле Qnum есть целое число, $Z$ ), а знаменатель в реализации Q обязан быть положительным (тип positive). Поэтому при отрицательном числителе $p$ запись $q / p$ нельзя понимать буквально — $p$ не может стоять в знаменателе. Знак при обращении переносится в числитель: обратное к $(- 3) /4$ есть $- 4/3$ , а не $4/ (- 3)$ . В общем виде — обратная дробь к $p / q$ при отрицательном $p$ записывается как $- q /∣ p ∣$ , знаменатель остаётся положительным. Это — та же координатная роль знака, что и всюду (Глава III.1): знак принадлежит числителю-позиции, а знаменатель есть число частей и потому положителен.

Легко принять <<обратность>> за некую ущербность или за отрицание — счесть, будто обратный элемент есть нечто противоположное существованию исходного. Это было бы ошибкой того же рода, что и счесть отрицательное число существующим <<в минусе>> (Глава III.1, § 1.1). Обратный элемент есть позитивно существующее рациональное число — такая же соразмерная позиция, как и $p / q$ , ничем не ущербная.

<<Обратность>> его — не онтологический статус, а операционная характеристика. Назвать $q / p$ обратным к $p / q$ значит сказать о нём одно: произведение $p / q$ на $q / p$ есть единица. Это свойство операции — того, что выходит при умножении, — а не свойство существования. Так же противоположный элемент в целых числах (Глава III.1, § 1.7) был позитивно существующей позицией с операционным свойством <<в сумме с исходным даёт нуль>>. И там, и здесь приставка <<противо->> или слово <<обратный>> указывают на операционную роль элемента, а не на ущербный способ его существования. Обратный элемент есть — и есть позитивно; обратным он зовётся по тому, что даёт операция.

Целые числа суть кольцо: сложение, вычитание, умножение не выводят за их пределы, но обратного по умножению у всякого элемента нет. Рациональные числа суть поле: у всякого ненулевого элемента $p / q$ есть обратный по умножению $q / p$ , и деление на ненулевое всюду выполнимо. Переход от кольца к полю есть структурная прибыль соразмерной разметки. Обратный элемент $q / p$ существует позитивно — это полноценная соразмерная позиция; <<обратность>> его есть операционная характеристика (произведение даёт единицу), а не ущербный способ существования — как и противоположный элемент целых чисел.

Рациональные числа — первое поле

Стоит отметить место рациональных чисел в общем строе числовых систем, к которому глава ещё вернётся в части об алгебре.

Натуральные числа полем не были — в них нет даже вычитания всюду. Целые числа — кольцо, но не поле. Рациональные числа суть первое поле, возникающее на пути ToS от акта различения: первая числовая система, в которой выполнимы все четыре действия арифметики, деление на ненулевое в том числе. Это утверждение стоит уточнить по режиму. Полем рациональные числа являются как стандартная алгебраическая система $Q$ — та, у которой обе координатные стороны неограниченны и в которой сложение, умножение, обратные определены всюду (кроме деления на нуль). Именно полнота четырёх действий, взятая на всей $Q$ , и есть свойство поля; и принадлежит оно $Q$ как полной координатной системе соразмерных смещений. В части, посвящённой алгебре, поле рациональных чисел станет основанием для дальнейших построений; здесь довольно отметить, что соразмерная разметка довела числовую систему до полноты четырёх действий — и эта полнота, взятая на всей стандартной $Q$ , есть то, что называется полем.

Что установлено

Рациональные числа опознаны как поле — числовая система с четырьмя выполнимыми действиями. Следующий раздел обращается к тому, что соразмерная разметка даёт внутри единичного отрезка, — к его делимости.

Делимость единичного отрезка

Единичный отрезок как система позиций

Соразмерная разметка опознана как поле. Стоит теперь взглянуть на то, что эта разметка даёт внутри одного шага — внутри единичного отрезка, промежутка от опоры до позиции $+ 1$ .

Единичный отрезок, взятый на уровне разметки, есть система (§ 2.3): он открыт для внутренних различений, и внутри него можно отмечать точки. Эти точки суть соразмерные позиции, лежащие между опорой и единицей: $1/2$ — середина отрезка, $1/3$ и $2/3$ — точки, делящие его на три, и так далее. Единичный отрезок есть, стало быть, не пустой промежуток, а система соразмерных позиций, заключённая между двумя своими концами.

Отрезок делится на любое число частей

Сколько различений можно провести внутри единичного отрезка? Любое число.

{ Отрезок делится надвое — отмечается точка $1/2$ . Делится натрое — отмечаются $1/3$ и $2/3$ . Делится на $n$ частей — для всякого $n \geq 2$ отмечаются внутренние позиции $1/ n, 2/ n, \dots, (n - 1) / n$ . Для всякого натурального $n \geq 2$ такое деление даёт внутренние точки: соразмерность $1/ n$ задаёт малый шаг, которого $n$ составляют единицу, и шаг этот — законная соразмерная позиция. При $n = 1$ деление тривиально: внутренних точек не возникает — отрезок остаётся одной частью, что согласуется с пустотой списка $1/ n, \dots, (n - 1) / n$ при $n = 1$ .}

Более того: деление не останавливается на однажды проведённом. Между двумя уже отмеченными точками единичного отрезка можно отметить новую — провести ещё одно, более тонкое различение. Это можно указать и формулой: если $a / b < c / d$ — две соразмерные позиции, то между ними лежит, например, их медианта

\frac{a + c}{b + d},

новая соразмерная позиция, полученная из двух данных. Так, между $1/3$ и $1/2$ лежит медианта $2/5$ ; между $2/5$ и $1/2$ — медианта $3/7$ , и так без предела. Полную теорию плотности $Q$ — то, что между любыми двумя рациональными позициями лежит рациональная, и притом бесконечно много, — глава здесь не разворачивает; это предмет дальнейших частей. Здесь довольно увидеть, что соразмерная разметка допускает повторное внутреннее различение: единичный отрезок как система открыт для различений не на какую-то одну глубину, а для всё более тонких — сколько бы их ни было проведено, можно провести следующее.

Это — работа того же различения уровней, что прошло через всю главу. Единичный отрезок делим не потому, что таким его сделали, а потому, что взят он как система; и всякое деление есть совершение нового акта различения внутри неё. Деление отрезка на части — не дробление готовой вещи, а проведение различений там, где прежде их не было.

Знак рациональной позиции

Стоит коротко вернуться к знаку — теперь применительно к рациональным позициям. Ибо здесь работает в точности то, что глава о целых числах установила о знаке (Глава III.1, § 1.5).

Рациональная позиция $- 3/4$ есть позиция в соразмерной разметке с шагом $1/4$ , отстоящая от опоры на три таких шага по той стороне, которую соглашение пометило минусом. Знак минуса при ней несёт — как и при целом числе — сторону, а не ущербное существование. Сама позиция $- 3/4$ есть наличная точка соразмерной разметки и существует позитивно, наравне со всякой. Соразмерность не вносит в картину знака ничего нового: она лишь сделала разметку гуще, добавив позиции между целыми, а две стороны опоры и смысл знака остались теми же, какими их установила Глава III.1.

И асимметрия двух сторон — та же, что у целых чисел, и понимать её надо так же. Соразмерная разметка строится над двусторонней разметкой целых чисел и наследует её устройство. Как показала Глава III.1 (§ 1.3, § 1.5), минус-сторона не есть онтологический спуск ниже наличного и не конечна: она есть вторая координатная ориентация, продлеваемая так же, как плюс-сторона. Соразмерная разметка наследует от целых чисел не конечность минус-стороны, а координатный смысл знака: минус у рационального числа не означает отрицательного существования — он означает противоположную ориентацию смещения относительно опоры. Дробление шага делает разметку гуще — добавляет позиции между целыми по обе стороны опоры, — но обе стороны остаются равно продлеваемыми. Асимметрия плюса и минуса есть, но она — в статусе сторон, не в их объёме: плюс-направление совпадает с направлением порождения ряда, минус-направление есть чисто координатное зеркало. Как координатная система $Q$ симметрично; симметрия эта — симметрия координатной записи, а не симметрия позитивного и отрицательного существования.

Единичный отрезок, взятый на уровне разметки, есть система соразмерных позиций. Он делится на любое число равных частей: для всякого $n \geq 2$ отмечаются позиции $1/ n, \dots, (n - 1) / n$ ; и между любыми двумя отмеченными точками можно отметить новую. Деление есть проведение новых актов различения внутри отрезка, а не дробление готовой вещи. Знак рациональной позиции несёт сторону, как и у целого числа: минус есть координатная ориентация, не отрицательное существование. $Q$ симметрично как координатная система; асимметрия плюса и минуса — в статусе сторон, не в конечности одной из них.

Что показано

Соразмерная разметка пройдена до конца: построена, записана, опознана как поле, и показана её делимость внутри единичного отрезка. Дальше глава сводит итог и намечает, что разворачивается за рациональными числами. Это — предмет заключительного раздела.

Итог. Переход к счётности

Что прошла глава

Глава прошла рациональные числа — и прошла их, как и целые, не как новый сорт чисел, введённый по уговору, а как координатную разметку, развернувшуюся из акта различения.

Начала глава с того, что целые числа дали разметку с целым, неделимым шагом, и взяла акт различения с ещё не пройденной стороны — внутрь шага; из акта, совершённого внутри шага, развернулась соразмерная разметка — разметка дробным шагом (§ 2.1). Соразмерность была определена как отношение кратностей шагов, и показано, что она имеет смысл лишь там, где шаг взят как система, а не как атом (§ 2.2). Двойной статус единицы — атом в счёте, делимый отрезок в разметке — разрешён как смена уровня рассмотрения, той же, что и для нуля в главе о целых числах (§ 2.3). Деление на нуль опознано не как запрещённое правилом действие, а как структурная бессмыслица: соразмерить с отсутствием акта нечего (§ 2.4). Дана формальная запись — тип $Q$ стандартной библиотеки, рациональное число как запись с рациональным равенством Qeq (§ 2.5). Рациональные числа опознаны как поле — первая числовая система с четырьмя выполнимыми действиями (§ 2.6). И показана делимость единичного отрезка: он есть система соразмерных позиций, делимая на любое число частей (§ 2.7).

Рациональное число есть соразмерная позиция

Итог главы сводится к одному. Рациональное число есть позиция в соразмерной разметке — точка, взятая относительно опоры, по ту или иную её сторону, на столько-то дробных шагов, где дробный шаг есть соразмерная доля целого.

Рациональные числа не прибавляют к числовому ряду нового сорта сущностей. Они — та же координатная разметка, что и целые числа, лишь взятая с более тонким, соразмерным шагом. Целые числа размечали целым шагом; рациональные размечают дробным, и оттого их разметка гуще: между всякими двумя целыми позициями лежат соразмерные. Но устройство то же: опора, шаг, позиции по обе стороны. И знак — тот же, унаследованный от целых чисел: минус есть координатная ориентация относительно опоры, не отрицательное существование. $Q$ , как и $Z$ , симметрично как координатная система; асимметрия плюса и минуса — в статусе сторон (плюс совпадает с направлением порождения ряда, минус есть его координатное зеркало), не в конечности одной из них. Соразмерность сгустила разметку, не изменив её основания.

Разбор E/R/R: рациональное-соразмерная позиция как система

{ Сведённое к соразмерной позиции (§ 2.8.2) рациональное стоит разобрать по E/R/R (Часть I). Оговорка о статусе, как и для целых (Глава III.1): ToS не строит свой тип рациональных — пользуется стандартным Q из QArith (Record числитель/знаменатель, § 2.5); машинно проверенное — сама полевая арифметика Q и отношение Qeq, а соразмерное чтение несёт проза. Файл Countability_Q.v (дерево Калкина–Уилфа) есть якорь следующей главы и работает с положительными парами QPos (§ 2.8.5). Ведём разбор в онтологическом порядке Rules $\to$ Roles $\to$ Elements.}

Rules — правила (закон $L 5$ ). Конституция — соразмерность: деление шага на $q$ равных частей с удержанным порядком (§ 2.2); $p / q$ есть позиция $p \cdot (1/ q)$ . К ней — полевая структура: четыре действия выполнимы, у всякого ненулевого есть обратный $q / p$ (§ 2.6). И правило равенства: Qeq ( $p \cdot s = r \cdot q$ ) — отдельное отношение, не структурное равенство записей (§ 2.5). Деление на нуль конституцией исключено не запретом, а бессмыслицей: соразмерить с нулём частей нечего (§ 2.4).

Roles — значимость позиций (закон $L 4$ ). Рациональное — роль соразмерной позиции: место на разметке с дробным шагом. Внутри записи $p / q$ две роли: числитель $p$ — сколько долей взято, знаменатель $q$ — на сколько частей делён шаг (число частей, не опора, § 2.4). Знак — роль ориентации, унаследованная от целых (Глава III.1). А над записями стоит роль класса: одна позиция представлена многими дробями ( $1/2, 2/4, \dots$ ), и общее у них — то, что объявляет Qeq.

Elements — носители (закон $L 1$ и принцип $P 4$ ). Элементы — дроби (Record над целыми Главы III.1) и соразмерные позиции, ими представленные. По $L 1$ запись тождественна себе структурно: 1#2 и 2#4 — разные пары (оттого Q не quotient-тип). По $P 4$ всякое рациональное есть конечный объект — пара числитель/знаменатель, — тогда как <<все рациональные>> суть потенциальная, незавершённая разметка (§ 2.8.4).

Сведём разбор в таблицу.

Компонент	Что фиксирует	E/R/R
соразмерность: шаг на $q$ равных частей	конституция разметки	Rule
поле: четыре действия, обратный $q / p$	алгебраическая полнота	Rule
`Qeq` ( $p \cdot s = r \cdot q$ ), отдельно от `=`	равенство дробей	Rule
соразмерная позиция; $p$ долей, $q$ частей	роль места	Role
класс равнозначных дробей (по `Qeq`)	роль <<то же число>>	Role
дроби (`Record` над $Z$ ; не quotient)	носители (конечн. пара, $P 4$ )	Element
законы $L 1$ – $L 5$ (здесь $L 5$ )	универсальный слой	Rule (универс.)

{ Хорошая сформированность. Разметка однозначна: дроби — элементы, позиция и класс — роли, соразмерность и поле — правила. И сформированность видна на двух местах. Первое: деление на нуль. Знаменатель есть роль <<число частей>>; нуль частей этой роли не реализует — $p /0$ не <<неправильное>> число, а несформированная запись (§ 2.4). Второе: равенство. Смешать структурное равенство записей, Qeq и идею класса — значит спутать элемент с ролью: 1#2 и 2#4 — разные элементы-записи, но одна роль-позиция, которую объявляет Qeq (§ 2.5). Рациональное как класс — роль-режим отождествления, не quotient-объект; это прямо подготавливает чтение точки как класса в Главе 4.3.}

Что даёт разбор. Рациональное — та же роль-позиция, что целое (Глава III.1), но на соразмерной разметке: шаг стал дробным, разметка гуще, а основание (опора, шаг, ориентация) то же. Полевая структура замкнула четыре действия — оттого $Q$ есть первое поле на пути ToS. А роль-класс (по Qeq) и контраст конечной точки с бесконечным процессом (Часть IV) выводят к вопросу следующей главы: можно ли соразмерные позиции перечислить (§ 2.8.4–2.8.5).

Чего глава не разворачивала

Об одном глава говорила сдержанно, и стоит сказать, почему.

Не раз заходила речь о <<всех рациональных числах>> — о поле рациональных чисел как о целом. Но что есть это целое? Рациональные числа суть позиции соразмерной разметки, и разметка эта — как и двусторонняя разметка целых чисел — не завершена: за всякой достигнутой позицией есть следующая, всякий отрезок делим ещё тоньше. <<Поле всех рациональных чисел>> не есть, стало быть, завершённая совокупность, лежащая готовой; это — разметка, потенциально продлеваемая и потенциально сгущаемая.

Сказать о ней больше глава здесь не может, ибо это потребовало бы разобрать, в каком смысле о незавершённой разметке вообще можно говорить как о <<списке>> её позиций, — а это особый вопрос, вопрос о счётности. Стоит, впрочем, заранее провести различение, чтобы переход к следующей главе был точен. Формально тип $Q$ существует как тип языка Rocq, и в этом смысле по рациональным числам можно квантифицировать — говорить <<для всякого рационального>>. Но ToS не читает это как актуально завершённую совокупность всех рациональных позиций, предъявленных разом. Различать здесь нужно три вещи: тип $Q$ как индуктивный тип формального языка (он есть); завершённую актуальность всех рациональных как готовой совокупности (её нет, по $P 4$ ); и перечисляющий процесс — схему доступа к рациональным позициям одна за другой. ToS даёт типу $Q$ процессное чтение: $Q$ есть схема разметки и режим доступа к соразмерным позициям, а не готовый собранный список. Глава лишь обозначает это, не разворачивая: рациональные числа суть не завершённое множество, а потенциальная разметка, и говорить о них как о собранном целом — значит брать их в особом режиме рассмотрения, который ещё предстоит разобрать.

Переход к следующей главе

Рациональные числа построены: координатная разметка с соразмерным шагом, поле, первое на пути ToS. Разметка эта потенциальна — не завершена и не собрана в готовую совокупность.

Следующая глава возьмётся за вопрос, который настоящая лишь обозначила: можно ли позиции соразмерной разметки перечислить — пройти их одну за другой так, чтобы всякая была достигнута. Это вопрос о счётности рациональных чисел, и ToS ответит на него не ссылкой на готовое множество, а прямым построением обхода.

{ В формализации ближайшим якорем следующей главы служит файл Countability_Q.v Rocq-репозитория ToS. Он конструктивно перечисляет положительные рациональные числа через дерево Калкина–Уилфа: положительное рациональное представлено там парой QPos (числитель и знаменатель, оба положительные), функция enum_QPos обходит дерево, а теорема Q_positive_countable доказывает — вполне конструктивно, без единой аксиомы, — что этот обход инъективен и достигает всякой несократимой пары. Стоит заранее оговорить точный статус: полная биекция $N \leftrightarrow Q$ с вычислимым обращением доказана не только для положительных, но и для всего $Q$ — со знаком и нулём. Функция enum_Q приписывает обходу знак и позицию нуля, обратная index_of_Q по рациональному находит его номер, а теорема Q_bijection доказывает — тоже без аксиом, — что они взаимно обратны (с точностью до Qeq: $2/4$ и $1/2$ — получают один номер).}

И ещё одно различение стоит наметить здесь, чтобы следующая глава не была понята шире, чем нужно. Речь в ней пойдёт о счётности рациональных точек — и это не то же самое, что счётность рациональных процессов. Рациональная точка конечна: она есть пара числителя и знаменателя, конечный объект, и потому такие пары перечислимы. Процесс над рациональными числами — например, последовательность рациональных приближений $n \mapsto Q$ — есть объект иного рода: не пара, а функция, бесконечная спецификация того, как вычислять члены. Файл Countability_Q.v прямо отмечает этот контраст: рациональные точки перечислимы, а процессы приближения так не перечисляются. Это различение — точка против процесса — станет существенным в Части IV, где числа предстанут как процессы; а пока довольно его обозначить.

Счётности рациональных чисел посвящена Глава III.3.

Часть: Часть III. От натуральных к рациональным · Том: «Математика»

Понятия: Формализация

Навигация: ← Глава 1. Целые числа: координатная разметка · Глава 3. Счётность рациональных чисел →

Тип Q рациональных чисел определён в стандартной библиотеке Rocq — в модуле QArith. Как и тип Z целых чисел (Глава III.1, § 1.6), QArith есть часть самого Rocq, не Rocq-репозитория ToS. ↩

Путь Мудрости

Проводник