N.1 · не-парадокс · подтип: Контринтуитивный результат
Monty Hall
Суть ошибки. Корректный результат: менять выгодно (2/3)
Точная формулировка
Три двери: за одной автомобиль, за двумя — козы. Вы выбираете дверь. Ведущий, знающий, где приз, открывает одну из двух оставшихся — всегда ту, где коза, — и предлагает сменить выбор. Менять ли? Интуиция твердит: дверей осталось две, шансы 50/50, обмен бессмыслен. Верный ответ: менять — стратегия обмена выигрывает с вероятностью 2/3 против 1/3 у стратегии «стоять на своём».
Происхождение
Имя — от Монти Холла, ведущего американского телешоу «Let’s Make a Deal». Задачу в этой форме поставил Селвин (1975); предки — задача о трёх узниках у Гарднера (1959) и ящики Бертрана (1889). Всемирную славу принесла колонка Мэрилин вос Савант в Parade (1990): её ответ «менять» вызвал около десяти тысяч писем, среди них — сотни от обладателей учёных степеней, уверенно и с негодованием требовавших «исправить ошибку». Эрдёш — по свидетельству современников — не принимал ответа, пока не увидел компьютерную симуляцию. История приёма задачи стала её второй сутью: перед нами не дефектная задача, а эталонный замер силы ложной интуиции.
Почему это не парадокс
Противоречия нет ни в условии, ни в выводе — есть конфликт корректного счёта с ожиданием равновероятности. По канону каталога дефект бывает в трёх местах: в построении, в посылках, в ожидании; здесь он в ожидании. Задача честна, ответ «2/3» доказуем перечислением, деревом исходов и симуляцией — «парадоксальность» целиком лежит на стороне читателя, применяющего принцип безразличия («две двери — значит поровну») там, где двери неравноправны: одна выбрана вслепую, другая пережила отбор осведомлённым ведущим. Ход ведущего — не случайное открытие, а действие по правилу, зависящему от расположения приза, — и потому несёт информацию.
Доменный анализ
Домен 1 — Распознавание: что дано? Компоненты: три двери, приз, ваш выбор, осведомлённый ведущий, правило «всегда открыть козу из оставшихся», предложение обмена. Сигнал: правило поведения ведущего — часть условия, которую интуиция первым делом выбрасывает.
Домен 2 — Прояснение: что означают термины? «Ведущий открыл козу» — что за событие? Не наблюдение случайности, а ход по правилу, использующий знание о призе: фильтр. «Шансы 50/50» — предикат ситуаций, о которых неизвестно ничего сверх числа исходов; здесь известно много. Дефект ожидания: асимметрия дверей стёрта.
Домен 3 — Выбор рамки: принцип безразличия — инструмент для неразличимых исходов; двери различены историей: слепой выбор против пережившей отбор. Рамка «две двери — поровну» не по объекту.
Домен 4 — Сравнение: честное сравнение стратегий: «стоять» выигрывает, когда первый выбор верен — 1/3; «менять» — когда неверен — 2/3.
Домен 5 — Вывод: счёт корректен и проверяем тремя независимыми путями. Проблема не в задаче.
Домен 6 — Рефлексия: десять тысяч негодующих писем — сигнал не дефекта задачи, а силы ожидания; честный ход рефлексии — симуляция: пусть мир рассудит.
Диагноз
Категория: не-парадокс — контринтуитивный результат. Место дефекта: ожидание, не задача: ложное применение принципа безразличия к неравным информационным положениям. Нарушенных законов нет. На триаде E/R/R: интуиция считает Элементы (двери), игнорируя Правило (осведомлённый отбор ведущего), — а вероятность живёт на Правиле: событие, пропущенное через фильтр, свидетельствует о фильтре.
Разрешение
Перечисление случаев закрывает вопрос. Приз за вашей дверью (вероятность 1/3) — обмен проигрывает. Приз за второй дверью — ведущий вынужден открыть третью, обмен выигрывает. Приз за третьей — ведущий открывает вторую, обмен выигрывает. Два случая из трёх — за обмен: 2/3. Помощь интуиции — сто дверей: вы выбрали одну, ведущий открыл девяносто восемь коз и оставил одну дверь закрытой; менять ли? Ваша дверь стоила 1/100 в момент слепого выбора — оставшаяся вобрала 99/100. Контрольный поворот, показывающий, где именно живёт информация: пусть ведущий не знает, где приз, и случайно открытая дверь оказалась козой, — тогда шансы действительно 50/50; вся разница между 2/3 и 1/2 — в правиле хода, а не в картинке «две закрытые двери». Эрдёшу хватило симуляции; она доступна каждому спорщику.
Урок
Об информации. Событие, отобранное правилом, несёт информацию о правиле; «то же самое» наблюдение при другом правиле хода стоит других вероятностей. О принципе безразличия. «Поровну» — привилегия неразличимых исходов; исходы, различённые историей и фильтром, поровну не стоят. О статусе категории. Контринтуитивное — не парадоксальное: правда бывает неожиданной; негодование — не аргумент, симуляция — аргумент.
Родня по механизму
Задача о трёх узниках (Гарднер — тот же механизм в тюремной декорации), ящики Бертрана (предок), Ложноположительные (та же слепота к информационной структуре — к базовой частоте), Дни рождения (сосед по категории: счёт против ожидания).
Машинная проверка. В реестре 46 — N1_MontyHall: категория NonParadox с пометкой в самой записи — «Intuition misleads»; статус категории формализован: nonparadox_46_not_paradox (не-парадокс не требует растворения — нечего растворять), счёт nonparadox_count_8 (ParadoxDissolution.v). Именного вероятностного счёта 2/3 в базе пока нет — кандидат формализации для ветки «Вероятность» (см. Формализация).
Категория: Не-парадоксы · Каталог: Каталог парадоксов · Концепт: Парадокс